Упростить cos2a - sin^2a/2sin^2a - cos^2a

Для упрощения выражения (\frac{\cos 2a - \sin^2 a}{2 \sin^2 a - \cos^2 a}), давайте сначала разберёмся с каждым компонентом и используем известные тригонометрические тождества.

1. Тождество для (\cos 2a):

   [ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a ]

2. Тождество для (\sin^2 a) и (\cos^2 a) в числителе:

   Числитель можно записать, используя тождество для (\cos 2a): [ \cos 2a - \sin^2 a = (\cos^2 a - \sin^2 a) - \sin^2 a = \cos^2 a - 2\sin^2 a ]

3. Переписываем числитель:

   [ \cos 2a - \sin^2 a = \cos^2 a - 2\sin^2 a ]

4. Теперь займёмся знаменателем:

   [ 2 \sin^2 a - \cos^2 a ]

   Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1) для преобразования: [ 2 \sin^2 a = 2(1 - \cos^2 a) = 2 - 2\cos^2 a ]

   Таким образом, знаменатель можно переписать как: [ 2 \sin^2 a - \cos^2 a = 2 - 2\cos^2 a - \cos^2 a = 2 - 3\cos^2 a ]

5. Итак, выражение становится:

   [ \frac{\cos^2 a - 2\sin^2 a}{2 - 3\cos^2 a} ]

6. Для дальнейшего упрощения рассмотрим следующее:

   Вспомним, что (\sin^2 a = 1 - \cos^2 a), и заменим (\sin^2 a) в числителе: [ \cos^2 a - 2\sin^2 a = \cos^2 a - 2(1 - \cos^2 a) = \cos^2 a - 2 + 2\cos^2 a = 3\cos^2 a - 2 ]

7. Итак, итоговое выражение:

   [ \frac{3\cos^2 a - 2}{2 - 3\cos^2 a} ]

8. Сравним числитель и знаменатель:

   Мы видим, что числитель и знаменатель являются противоположными друг другу: [ 3\cos^2 a - 2 = -(2 - 3\cos^2 a) ]

9. Таким образом, выражение упрощается до:

   [ \frac{3\cos^2 a - 2}{2 - 3\cos^2 a} = -1 ]

Таким образом, упрощённое выражение равно (-1).

Для упрощения данного выражения нам необходимо воспользоваться формулами тригонометрии.

Сначала раскроем косинус удвоенного угла: cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение: (cos^2(a) - sin^2(a)) - sin^2(a) / (2sin^2(a) - cos^2(a))

Далее раскроем скобки и упростим числитель: cos^2(a) - sin^2(a) - sin^2(a) / 2sin^2(a) - cos^2(a)

Теперь преобразуем числитель: cos^2(a) - 2sin^2(a) / 2sin^2(a) - cos^2(a)

Поделим числитель и знаменатель на -1, чтобы поменять местами слагаемые в числителе: -(2sin^2(a) - cos^2(a)) / (cos^2(a) - 2sin^2(a))

Теперь перепишем числитель как разность квадратов: -((2sin(a) + cos(a))(2sin(a) - cos(a))) / (cos^2(a) - 2sin^2(a))

Используем тригонометрические тождества для косинуса и синуса: -(2sin(a) + cos(a))(2sin(a) - cos(a)) / -sin^2(a)

Таким образом, после упрощения получаем ответ: (2sin(a) + cos(a))(2sin(a) - cos(a)) / sin^2(a)

cos2a - sin^2a/2sin^2a - cos^2a = cos^2a - sin^2a / sin^2a = 0