Упростить :2 (cos a+cos 3a)/2 sin 2a+sin 4a

Чтобы упростить выражение (\frac{2 (\cos a + \cos 3a)}{2 \sin 2a + \sin 4a}), начнем с упрощения числителя и знаменателя по отдельности.

Шаг 1: Упрощение числителя

Числитель равен (2 (\cos a + \cos 3a)). Мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов:

[ \cos a + \cos 3a = 2 \cos\left(\frac{a + 3a}{2}\right) \cos\left(\frac{3a - a}{2}\right) = 2 \cos(2a) \cos(a) ]

Таким образом, числитель становится:

[ 2 (\cos a + \cos 3a) = 2 \cdot 2 \cos(2a) \cos(a) = 4 \cos(2a) \cos(a) ]

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель (2 \sin 2a + \sin 4a). Используем формулу двойного угла для синуса:

(\sin 4a = 2 \sin(2a) \cos(2a)), тогда:

[ 2 \sin 2a + \sin 4a = 2 \sin 2a + 2 \sin(2a) \cos(2a) = 2 \sin(2a)(1 + \cos(2a)) ]

Шаг 3: Составляем полное выражение

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

[ \frac{4 \cos(2a) \cos(a)}{2 \sin(2a)(1 + \cos(2a))} ]

Шаг 4: Упрощение

Упрощаем дробь:

[ = \frac{4 \cos(2a) \cos(a)}{2 \sin(2a)(1 + \cos(2a))} = \frac{2 \cos(2a) \cos(a)}{\sin(2a)(1 + \cos(2a))} ]

Шаг 5: Дополнительные преобразования

Мы можем заметить, что (\sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a)), поэтому:

[ \frac{2 \cos(2a) \cos(a)}{2 \sin(a) \cos(a)(1 + \cos(2a))} = \frac{\cos(2a)}{\sin(a)(1 + \cos(2a))} ]

Теперь окончательное упрощенное выражение:

[ \frac{\cos(2a)}{\sin(a)(1 + \cos(2a))} ]

Таким образом, результат упрощения выражения (\frac{2 (\cos a + \cos 3a)}{2 \sin 2a + \sin 4a}) равен:

[ \frac{\cos(2a)}{\sin(a)(1 + \cos(2a))} ]

Упростим выражение ( \frac{2(\cos a + \cos 3a)}{2 \sin 2a + \sin 4a} ).

Сначала упростим числитель:

[ \cos a + \cos 3a = 2 \cos\left(\frac{a + 3a}{2}\right) \cos\left(\frac{3a - a}{2}\right) = 2 \cos(2a) \cos(a). ]

Теперь упростим знаменатель:

[ 2 \sin 2a + \sin 4a = 2 \sin 2a + 2 \sin 2a \cos 2a = 2 \sin 2a (1 + \cos 2a). ]

Теперь подставим это в исходное выражение:

[ \frac{2(2 \cos(2a) \cos(a))}{2 \sin(2a)(1 + \cos(2a))} = \frac{2 \cos(2a) \cos(a)}{\sin(2a)(1 + \cos(2a))}. ]

Таким образом, окончательно упрощенное выражение:

[ \frac{\cos(2a) \cos(a)}{\sin(2a)(1 + \cos(2a))}. ]

Упростим данное выражение:

[ \frac{2 (\cos a + \cos 3a)}{2 \sin 2a + \sin 4a}. ]

Шаг 1. Упростим числитель ((\cos a + \cos 3a)):

Используем формулу суммы косинусов: [ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). ]

Подставляем (x = a) и (y = 3a): [ \cos a + \cos 3a = 2 \cos\left(\frac{a + 3a}{2}\right) \cos\left(\frac{a - 3a}{2}\right). ]

Упрощаем: [ \cos a + \cos 3a = 2 \cos(2a) \cos(-a). ]

Так как (\cos(-a) = \cos(a)), то: [ \cos a + \cos 3a = 2 \cos(2a) \cos(a). ]

Таким образом, числитель (2 (\cos a + \cos 3a)) становится: [ 2 (\cos a + \cos 3a) = 2 \cdot 2 \cos(2a) \cos(a) = 4 \cos(2a) \cos(a). ]

Шаг 2. Упростим знаменатель (2 \sin 2a + \sin 4a):

Разделим выражение на два слагаемых: (2 \sin 2a) и (\sin 4a).

Используем формулу суммы синусов: [ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right). ]

Подставляем (x = 2a) и (y = 4a): [ 2 \sin 2a + \sin 4a = \sin 2a + \sin 4a = 2 \sin\left(\frac{2a + 4a}{2}\right) \cos\left(\frac{2a - 4a}{a}\