Улитка ползёт вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую последующую на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м? РАСПИШИТЕ РЕШЕНИЕ ПОЖАЛУЙСТА!
Улитка ползёт вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую последующую на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м? РАСПИШИТЕ РЕШЕНИЕ ПОЖАЛУЙСТА!
Для решения данной задачи нам необходимо найти общее количество времени, которое улитка затратит на поднятие на вершину дерева.
Пусть (n) - количество минут, которое улитка потратит на подъем к вершине дерева. Тогда за первую минуту улитка проползет 30 см, за вторую - 35 см, за третью - 40 см и так далее. Получаем арифметическую прогрессию.
Общее количество времени (n) можно найти из формулы для суммы (n) членов арифметической прогрессии: (S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)), где (a_1 = 30) - длина пройденного пути за первую минуту, (d = 5) - разность прогрессии, (S_n = 525) см = 5,25 м - высота дерева.
Подставляем известные значения и находим количество минут (n): (525 = \frac{n}{2}(60 + 5(n-1))), (525 = \frac{n}{2}(60 + 5n - 5)), (525 = \frac{n}{2}(5n + 55)), (525 = \frac{5n^2 + 55n}{2}), (1050 = 5n^2 + 55n), (5n^2 + 55n - 1050 = 0).
Решаем квадратное уравнение и находим два корня: (n_1 \approx 7.37) минут, (n_2 \approx -28.37) минут.
Ответ: Улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м за примерно 7.37 минут.
Для решения задачи нужно определить, за какое количество минут улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 метров (или 525 сантиметров).
Определим последовательность расстояний, которые улитка проползает за каждую минуту:
Улитка ползет по следующей закономерности:
Это формирует арифметическую прогрессию, где:
Таким образом, расстояние, которое улитка проползает за ( n )-ю минуту, можно описать как: [ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 30 + (n-1) \cdot 5 ]
Найдем сумму расстояний, которые улитка проползет за ( n ) минут:
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) ]
Подставим известные значения: [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (30 + (30 + (n-1) \cdot 5)) ] [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (60 + 5(n-1)) ] [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (60 + 5n - 5) ] [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (55 + 5n) ] [ S_n = \frac{n}{2} \cdot (5n + 55) ] [ S_n = \frac{5n^2 + 55n}{2} ]
Определим, при каком ( n ) сумма ( S_n ) станет равной 525 см:
[ \frac{5n^2 + 55n}{2} = 525 ]
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 5n^2 + 55n = 1050 ]
Разделим обе части на 5: [ n^2 + 11n = 210 ]
Решим полученное квадратное уравнение: [ n^2 + 11n - 210 = 0 ]
Найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 121 + 840 = 961 ]
Найдем корни уравнения: [ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{961}}{2} ] [ n = \frac{-11 \pm 31}{2} ]
Получаем два корня: [ n_1 = \frac{20}{2} = 10 ] [ n_2 = \frac{-42}{2} = -21 \quad (\text{не подходит, так как ( n ) не может быть отрицательным}) ]
Таким образом, улитка достигнет вершины дерева за 10 минут.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой арифметической прогрессии:
[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)]
где (S_n) - сумма первых (n) членов арифметической прогрессии, (a_1) - первый член прогрессии, (d) - разность прогрессии.
Из условия задачи имеем:
(a_1 = 30) см, (d = 5) см, (S_n = 525) см (5,25 м).
Подставляем известные значения в формулу:
[525 = \frac{n}{2}(60 + 5(n-1))]
[525 = 30n + 5n^2 - 5n]
[5n^2 + 25n - 525 = 0]
[n^2 + 5n - 105 = 0]
[(n + 15)(n - 7) = 0]
Отсюда получаем два возможных значений (n): (n = -15) и (n = 7). Так как время не может быть отрицательным, то (n = 7).
Ответ: Улитка достигнет вершины дерева за 7 минут.
