Укажите промежуток, на котором функция f (x) = 5x^2 - 4x - 7 только убывает.
Укажите промежуток, на котором функция f (x) = 5x^2 - 4x - 7 только убывает.
Функция f(x) = 5x^2 - 4x - 7 убывает на интервалах (-бесконечность, 0.4) и (1.4, +бесконечность).
Для того чтобы определить промежуток, на котором функция f(x) = 5x^2 - 4x - 7 только убывает, необходимо найти критические точки функции. Для этого сначала найдем производную функции f'(x):
f'(x) = 10x - 4.
Затем найдем точки, в которых производная равна нулю:
10x - 4 = 0, 10x = 4, x = 4/10, x = 0.4.
Таким образом, критическая точка функции находится при x = 0.4. Далее проведем исследование знаков производной в окрестностях этой точки.
При x < 0.4: f'(x) = 10x - 4 < 0, следовательно, функция убывает на промежутке (-∞, 0.4).
Таким образом, функция f(x) = 5x^2 - 4x - 7 только убывает на промежутке (-∞, 0.4).
Функция ( f(x) = 5x^2 - 4x - 7 ) является квадратичной функцией, и её график представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при ( x^2 ) положительный (5 > 0), ветви параболы направлены вверх.
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, необходимо найти её производную и определить, на каких промежутках производная отрицательна (что соответствует убыванию функции).
Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^2 - 4x - 7) = 10x - 4. ]
Найдём критические точки: Для этого приравняем производную к нулю: [ 10x - 4 = 0. ] [ 10x = 4. ] [ x = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. ]
Критическая точка ( x = \frac{2}{5} ).
Определим знак производной на промежутках: Разобьём числовую ось на промежутки, используя критическую точку ( x = \frac{2}{5} ), и проверим знак производной на каждом из них:
На промежутке ( (-\infty, \frac{2}{5}) ): Выберем тестовую точку, например ( x = 0 ): [ f'(0) = 10 \cdot 0 - 4 = -4. ] Производная отрицательна, значит, функция убывает.
На промежутке ( (\frac{2}{5}, \infty) ): Выберем тестовую точку, например ( x = 1 ): [ f'(1) = 10 \cdot 1 - 4 = 6. ] Производная положительна, значит, функция возрастает.
Ответ: Функция ( f(x) = 5x^2 - 4x - 7 ) убывает на промежутке ( (-\infty, \frac{2}{5}) ).
