Tg x меньше или равен -3 Пожалуйста, распишите подробно и с окружностью

Для начала разберемся, как определить значения угла, для которых tg x меньше или равен -3.

Тангенс угла x определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника. То есть tg x = sin x / cos x.

Если tg x 0. Тогда sin x / cos x > 0. Но поскольку tg x 0 и cos x < 0. Тогда sin x / cos x < 0. Отсюда следует, что sin x и cos x находятся в разных квадрантах, а значит угол x лежит во втором или четвертом квадранте.

1. Пусть sin x < 0 и cos x > 0. Тогда sin x / cos x < 0. Аналогично, угол x лежит в первом или третьем квадранте.

2. Пусть sin x < 0 и cos x < 0. Тогда sin x / cos x > 0. Но это не удовлетворяет условию tg x 0. Теперь нарисуем окружность, чтобы понять, в каких областях на плоскости находятся углы, для которых tg x 0. В этих областях и будут находиться углы, для которых tg x

Чтобы решить неравенство (\tan x \leq -3), нужно рассмотреть несколько аспектов, включая поведение функции тангенса и его периодичность. Давайте подробно разберем этот вопрос.

Основные свойства функции тангенса

1. Периодичность: Функция тангенса имеет период (\pi), что означает, что (\tan(x + k\pi) = \tan x) для любого целого числа (k).

2. Область определения: Функция тангенса определена на всех значениях (x), кроме точек вида (x = \frac{\pi}{2} + k\pi), где (k) — целое число. В этих точках тангенс не определён, так как косинус (x) равен нулю, а деление на ноль невозможно.

3. Диапазон значений: (\tan x) принимает все действительные числа, то есть диапазон значений функции тангенса — это вся числовая прямая ((-\infty, +\infty)).

Решение неравенства

Мы рассматриваем неравенство (\tan x \leq -3). Чтобы визуализировать это, полезно представить график функции тангенса и отметить, где её значения меньше или равны -3.

1. Визуализация с окружностью: Для этого удобно использовать единичную окружность. На единичной окружности тангенс угла (x) равен отношению ординаты точки на окружности к её абсциссе (отношение (y) к (x)).

2. Интервалы, где (\tan x \leq -3):

   • Рассмотрим функцию (\tan x) на промежутке (-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}). В этом интервале тангенс проходит через все свои значения от (-\infty) до (\infty).

   • Для значений (\tan x = -3) найдём соответствующие углы (x): [ x = \arctan(-3) + k\pi, ] где (k) — целое число. Обозначим (\theta = \arctan(-3)).

   • Поскольку (\tan x) периодична с периодом (\pi), мы должны учитывать все промежутки длины (\pi).

3. Углы (\theta):

   • (\theta = \arctan(-3)) даёт конкретный угол в интервале (-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}).

4. Неравенство:

   • Теперь нужно определить интервалы, где (\tan x) меньше или равен -3. Это происходит, когда (x) находится в интервалах, соответствующих: [ x \leq \arctan(-3) + k\pi \quad \text{или} \quad x \geq \arctan(-3) + \frac{\pi}{2} + k\pi, ] где (k) — целое число.

Решение на числовой линии

На числовой линии это будет выглядеть следующим образом:

1. Найдём значение (\theta = \arctan(-3)), это примерно равно (-1.249) радиан.
2. Учитывая периодичность (\pi), отметим эти значения на числовой оси: [ x \leq -1.249 + k\pi \quad \text{или} \quad x \geq -1.249 + \frac{\pi}{2} + k\pi, ] где (k) — целое число.

Итоговое выражение

Полный набор решений для неравенства (\tan x \leq -3) можно записать в виде: [ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( (-\infty, \arctan(-3) + k\pi] \cup [\arctan(-3) + \frac{\pi}{2} + k\pi, \infty) \right). ]

Таким образом, решение неравенства (\tan x \leq -3) включает множество интервалов, которые периодически повторяются с шагом (\pi).

Для начала разберемся с тангенсом. Тангенс угла x равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Если tg x меньше или равен -3, это означает, что отношение противолежащего катета к прилежащему катету меньше или равно -3.

Давайте представим этот угол x на единичной окружности. Угол x будет соответствовать точке на окружности. Так как tg x = sin x / cos x, то точка (cos x, sin x) будет лежать на графике функции y = tg x = sin x / cos x.

Теперь нам нужно найти точки, где tg x меньше или равен -3. Это означает, что sin x / cos x меньше или равно -3.

Построим график функции y = tg x = sin x / cos x на окружности. Точки, где tg x меньше или равен -3, будут лежать ниже прямой y = -3.

Таким образом, ответ на вопрос будет представлять собой сектор окружности, в котором sin x / cos x ≤ -3.