Тело движется прямолинейно со скоростью v (t)=(2t^3+1) м/с.Найдите путь,пройденный телом за промежуток...

Сначала найдем функцию пути s(t) путем интегрирования функции скорости v(t) от t=1c до t=3c: s(t) = ∫(2t^3 + 1)dt = 2∫t^3dt + ∫dt = 2*(t^4/4) + t = (t^4/2) + t

Теперь найдем путь, пройденный телом за промежуток времени от t=1c до t=3c: s(3) - s(1) = ((3)^4/2 + 3) - ((1)^4/2 + 1) = (81/2 + 3) - (1/2 + 1) = 81/2 + 3 - 1/2 - 1 = 81/2 + 2 - 1/2 = 81/2 + 3/2 = 84/2 = 42 м

Таким образом, тело пройдет 42 м за указанный промежуток времени.

Для того чтобы найти путь, пройденный телом за промежуток времени от t=1c до t=3c, необходимо проинтегрировать функцию скорости v(t) по времени от t=1 до t=3.

Интеграл пути S(t) будет равен определенному интегралу от функции скорости v(t) по временному интервалу от 1 до 3: S(t) = ∫[1,3] v(t) dt

S(t) = ∫[1,3] (2t^3 + 1) dt S(t) = [t^4 + t] [1,3] S(t) = (3^4 + 3) - (1^4 + 1) S(t) = (81 + 3) - (1 + 1) S(t) = 84 - 2 S(t) = 82 м

Таким образом, путь, пройденный телом за промежуток времени от t=1c до t=3c, составляет 82 метра.

Чтобы найти путь, пройденный телом за промежуток времени от ( t = 1 ) с до ( t = 3 ) с при заданной скорости ( v(t) = 2t^3 + 1 ) м/с, нужно вычислить интеграл скорости по времени на этом промежутке.

Формула для нахождения пути по известной скорости через интеграл имеет вид:

[ s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt ]

Где:

• ( s ) — путь, пройденный телом,
• ( v(t) ) — функция скорости,
• ( t_1 ) и ( t_2 ) — начальный и конечный моменты времени.

Подставляя известные значения, получаем:

[ s = \int_{1}^{3} (2t^3 + 1) \, dt ]

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Разделим интеграл на два отдельных интеграла:

[ s = \int{1}^{3} 2t^3 \, dt + \int{1}^{3} 1 \, dt ]

1. Вычислим первый интеграл:

[ \int 2t^3 \, dt = 2 \cdot \frac{t^4}{4} = \frac{t^4}{2} ]

Подставляя пределы интегрирования:

[ \left[ \frac{t^4}{2} \right]_{1}^{3} = \left( \frac{3^4}{2} \right) - \left( \frac{1^4}{2} \right) = \frac{81}{2} - \frac{1}{2} = \frac{80}{2} = 40 ]

1. Вычислим второй интеграл:

[ \int 1 \, dt = t ]

Подставляя пределы интегрирования:

[ \left[ t \right]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2 ]

1. Сложим результаты двух интегралов:

[ s = 40 + 2 = 42 ]

Таким образом, тело прошло 42 метра за промежуток времени от ( t = 1 ) с до ( t = 3 ) с.