Существует ли такое число t что выполняется равенство sint=1/(корень7 - корень3)

Давайте разберем вопрос о существовании такого числа ( t ), для которого выполняется равенство:

[ \sin t = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}. ]

Шаг 1: Упростим правую часть выражения

Обратим внимание на знаменатель (\sqrt{7} - \sqrt{3}). Для удобства вычислений избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение (\sqrt{7} + \sqrt{3}):

[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}. ]

В знаменателе используем формулу разности квадратов ( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 ):

[ (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4. ]

Итак, получаем:

[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}. ]

Теперь равенство принимает вид:

[ \sin t = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}. ]

Шаг 2: Ограничения на значение синуса

Из определения функции синуса мы знаем, что его значения находятся в интервале ([-1, 1]). То есть:

[ -1 \leq \sin t \leq 1. ]

Поэтому нам нужно проверить, лежит ли значение (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}) в этом диапазоне.

Шаг 3: Оценим значение (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4})

Вычислим приблизительные значения (\sqrt{7}) и (\sqrt{3}):

• (\sqrt{7} \approx 2.64575),
• (\sqrt{3} \approx 1.73205).

Тогда:

[ \sqrt{7} + \sqrt{3} \approx 2.64575 + 1.73205 = 4.3778. ]

Теперь делим это значение на 4:

[ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \approx \frac{4.3778}{4} \approx 1.09445. ]

Шаг 4: Проверка принадлежности интервалу ([-1, 1])

Мы видим, что (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \approx 1.09445), то есть значение правой части больше 1. А это противоречит ограничению для функции синуса, согласно которому (\sin t \leq 1).

Вывод

Равенство (\sin t = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}) не имеет решений, поскольку правое выражение выходит за пределы допустимого диапазона значений синуса.

Чтобы определить, существует ли такое число ( t ), при котором выполняется равенство

[ \sin t = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}, ]

начнем с упрощения правой части уравнения. Для этого воспользуемся рационализацией знаменателя.

Рационализируем дробь:

[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{7 - 3} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}. ]

Таким образом, мы получаем:

[ \sin t = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}. ]

Теперь необходимо выяснить, попадает ли значение ( \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} ) в диапазон значений функции синуса. Напомним, что синус принимает значения в интервале от -1 до 1:

[ -1 \leq \sin t \leq 1. ]

Теперь найдем численное значение выражения ( \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} ).

1. Вычислим ( \sqrt{7} ) и ( \sqrt{3} ):

   • ( \sqrt{7} \approx 2.6457513110645906 )
   • ( \sqrt{3} \approx 1.7320508075688772 )

2. Сложим их: [ \sqrt{7} + \sqrt{3} \approx 2.6457513110645906 + 1.7320508075688772 \approx 4.377802118633468. ]

3. Теперь разделим на 4: [ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \approx \frac{4.377802118633468}{4} \approx 1.094450529658367. ]

Мы видим, что ( \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \approx 1.094450529658367 ), что больше 1. Следовательно,

[ \sin t = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} > 1. ]

Поскольку значение синуса не может превышать 1, то уравнение

[ \sin t = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} ]

не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, ответ на вопрос: Нет, не существует такого числа ( t ), что выполняется равенство ( \sin t = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} ).