Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго.Найдите разность и первый член данной прогрессии.
Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго.Найдите разность и первый член данной прогрессии.
Для решения задачи будем использовать свойства арифметической прогрессии. Пусть ( a ) — первый член прогрессии, а ( d ) — её разность. Тогда ( n )-й член прогрессии можно записать как:
[ a_n = a + (n-1) \cdot d. ]
Для третьего члена ((a_3)) и пятого члена ((a_5)) прогрессии имеем:
[ a_3 = a + 2d, ] [ a_5 = a + 4d. ]
По условию задачи сумма третьего и пятого членов равна 16:
[ a_3 + a_5 = 16. ]
Подставим выражения для (a_3) и (a_5):
[ (a + 2d) + (a + 4d) = 16, ] [ 2a + 6d = 16. ] Сократим уравнение на 2:
[ a + 3d = 8. \quad (1) ]
Теперь рассмотрим второе условие задачи: шестой член прогрессии ((a_6)) на 12 больше второго ((a_2)):
[ a_6 = a + 5d, ] [ a_2 = a + d. ]
По условию:
[ a_6 = a_2 + 12. ]
Подставим выражения для (a_6) и (a_2):
[ a + 5d = (a + d) + 12, ] [ a + 5d = a + d + 12. ]
Упростим это уравнение:
[ 5d = d + 12, ] [ 4d = 12. ]
Разделим обе части уравнения на 4:
[ d = 3. ]
Теперь, зная (d), найдем (a) из уравнения (1):
[ a + 3 \cdot 3 = 8, ] [ a + 9 = 8, ] [ a = 8 - 9, ] [ a = -1. ]
Итак, первый член прогрессии (a) равен (-1), а разность (d) равна (3).
Обозначим первый член арифметической прогрессии через (a), а разность между членами через (d).
Таким образом, третий член будет равен (a + 2d), пятый член будет равен (a + 4d), а шестой член будет равен (a + 5d).
Из условия задачи у нас есть два уравнения: 1) (a + 2d + a + 4d = 16) 2) (a + 5d = a + 2d + 12)
Решив эти уравнения, мы найдем, что (a = 2) и (d = 3).
Таким образом, первый член прогрессии равен 2, а разность между членами равна 3.
