Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый...

Для решения задачи будем использовать формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии и суммы квадратов её членов.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как ( a ), а знаменатель как ( r ) (где ( |r| < 1 )).

1. Сумма геометрической прогрессии: Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле: [ S = \frac{a}{1 - r} ] Из условия задачи известно, что сумма этой прогрессии равна 4: [ \frac{a}{1 - r} = 4 \quad (1) ]

2. Сумма квадратов членов прогрессии: Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии также является геометрической прогрессией, где первый член равен ( a^2 ), а знаменатель равен ( r^2 ). Сумма квадратов вычисляется по аналогичной формуле: [ S_{\text{квадрат}} = \frac{a^2}{1 - r^2} ] Из условия задачи известно, что эта сумма равна 48: [ \frac{a^2}{1 - r^2} = 48 \quad (2) ]

Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2).

Подстановка и решение

Из уравнения (1) выразим ( a ): [ a = 4(1 - r) \quad (3) ]

Подставим (3) в (2): [ \frac{(4(1 - r))^2}{1 - r^2} = 48 ] Упрощаем: [ \frac{16(1 - r)^2}{1 - r^2} = 48 ] Теперь умножим обе стороны на ( 1 - r^2 ): [ 16(1 - r)^2 = 48(1 - r^2) ] Упрощаем: [ 16(1 - 2r + r^2) = 48(1 - r^2) ] Раскроем скобки: [ 16 - 32r + 16r^2 = 48 - 48r^2 ] Соберем все члены в одно уравнение: [ 16r^2 + 48r^2 - 32r + 16 - 48 = 0 ] [ 64r^2 - 32r - 32 = 0 ] Упростим: [ 2r^2 - r - 1 = 0 ]

Находим корни квадратного уравнения

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней: [ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 2, b = -1, c = -1 ): [ r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} ]

Корни: [ r_1 = \frac{4}{4} = 1 \quad (не подходит, так как |r| < 1) ] [ r_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad (подходит) ]

Находим ( a )

Теперь подставим найденное значение ( r ) в уравнение (3): [ a = 4(1 - (-\frac{1}{2})) = 4(1 + \frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 ]

Ответ

Таким образом, первый член прогрессии ( a = 6 ), а знаменатель ( r = -\frac{1}{2} ).

Ответ: Первый член ( a = 6 ), знаменатель ( r = -\frac{1}{2} ).

Для решения задачи обозначим первый член геометрической прогрессии через ( a ), а её знаменатель — через ( q ). В задаче даны две ключевые информации:

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4.
2. Сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 48.

Шаг 1. Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

[ S = \frac{a}{1 - q}, ]

где ( |q| < 1 ). По условию:

[ \frac{a}{1 - q} = 4. \tag{1} ]

Шаг 2. Формула суммы квадратов членов геометрической прогрессии

Сумма квадратов всех членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

[ S_{\text{кв}} = \frac{a^2}{1 - q^2}, ]

где ( |q| < 1 ). По условию:

[ \frac{a^2}{1 - q^2} = 48. \tag{2} ]

Теперь у нас есть два уравнения: ((1)) и ((2)).

Шаг 3. Выразим ( a ) через ( q ) из уравнения ((1))

Из уравнения ((1)) выразим ( a ):

[ a = 4(1 - q). \tag{3} ]

Шаг 4. Подставим ( a ) из ((3)) в уравнение ((2))

Подставим ( a = 4(1 - q) ) в уравнение ((2)):

[ \frac{(4(1 - q))^2}{1 - q^2} = 48. ]

Раскроем квадрат в числителе:

[ \frac{16(1 - q)^2}{1 - q^2} = 48. ]

Упростим ( (1 - q)^2 ) в числителе:

[ (1 - q)^2 = 1 - 2q + q^2. ]

Подставим это обратно:

[ \frac{16(1 - 2q + q^2)}{1 - q^2} = 48. ]

Раскроем скобки в числителе:

[ \frac{16 - 32q + 16q^2}{1 - q^2} = 48. ]

Шаг 5. Умножим обе части уравнения на ( 1 - q^2 )

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на ( 1 - q^2 ) (здесь ( |q| < 1 ), поэтому ( 1 - q^2 \neq 0 )):

[ 16 - 32q + 16q^2 = 48(1 - q^2). ]

Раскроем скобки справа:

[ 16 - 32q + 16q^2 = 48 - 48q^2. ]

Перенесём все члены в одну часть уравнения:

[ 16 - 32q + 16q^2 - 48 + 48q^2 = 0. ]

Объединим подобные члены:

[ 64q^2 - 32q - 32 = 0. ]

Шаг 6. Упростим уравнение

Разделим обе части на 16, чтобы упростить коэффициенты:

[ 4q^2 - 2q - 2 = 0. ]

Шаг 7. Решим квадратное уравнение

Решим уравнение ( 4q^2 - 2q - 2 = 0 ) с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) дискриминант равен:

[ D = b^2 - 4ac. ]

Здесь ( a = 4 ), ( b = -2 ), ( c = -2 ). Найдём дискриминант:

[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 4 + 32 = 36. ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения:

[ q = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm 6}{8}. ]

Рассмотрим два корня:

[ q_1 = \frac{2 + 6}{8} = 1, \quad q_2 = \frac{2 - 6}{8} = -\frac{1}{2}. ]

Шаг 8. Выбор подходящего значения ( q )

Так как ( |q| < 1 ) (условие для сходимости бесконечной прогрессии), выбираем ( q = -\frac{1}{2} ).

Шаг 9. Найдём ( a )

Подставим ( q = -\frac{1}{2} ) в уравнение ((3)):

[ a = 4(1 - q) = 4\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 4\left(1 + \frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6. ]

Ответ:

Первый член прогрессии: ( a = 6 ).
Знаменатель прогрессии: ( q = -\frac{1}{2} ).