Среди прямоугольников,сумма длин трех сторон у которых равна 20,найти прямоугольник наибольшей площади...

Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью при заданной сумме длин трёх его сторон, начнём с обозначений. Пусть длины сторон прямоугольника равны ( a ) и ( b ) (где ( a ) и ( b ) — это длины сторон, а третья сторона ( c ) всегда равна 0, так как у прямоугольника только две стороны).

Дано, что сумма длин трёх сторон равна 20:

[ a + b + c = 20 ]

Поскольку ( c = 0 ), у нас остается:

[ a + b = 20 ]

Площадь прямоугольника ( S ) выражается как:

[ S = a \cdot b ]

Подставим ( b ) из первого уравнения в уравнение для площади:

[ b = 20 - a ]

Подставим это в формулу для площади:

[ S = a \cdot (20 - a) = 20a - a^2 ]

Теперь у нас есть функция площади ( S(a) = 20a - a^2 ). Это квадратная функция, которая имеет вид параболы, открытой вниз (так как коэффициент при ( a^2 ) отрицательный), и её максимум будет достигаться в вершине.

Координаты вершины параболы ( S(a) = -a^2 + 20a ) можно найти по формуле:

[ a_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = 10 ]

Теперь подставим ( a = 10 ) обратно в уравнение для ( b ):

[ b = 20 - a = 20 - 10 = 10 ]

Таким образом, длины сторон прямоугольника, который имеет наибольшую площадь, равны ( a = 10 ) и ( b = 10 ). Это означает, что данный прямоугольник является квадратом.

Теперь найдем площадь этого прямоугольника:

[ S = a \cdot b = 10 \cdot 10 = 100 ]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника, сумма длин трёх сторон которого равна 20, равна 100, и это квадрат со сторонами по 10 единиц.

Рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы прийти к решению.

Условие задачи:

У нас есть прямоугольник, сумма длин трёх сторон которого равна 20. Необходимо найти такой прямоугольник, который имеет наибольшую площадь.

Обозначения:

Пусть длины сторон прямоугольника равны ( a ) и ( b ), где ( a ) — длина, а ( b ) — ширина.

Сумма трёх сторон прямоугольника равна 20, то есть: [ a + b + a = 20. ] Упростим это уравнение: [ 2a + b = 20. ]

Выразим одну из сторон через другую:

Из уравнения ( 2a + b = 20 ) выразим ( b ): [ b = 20 - 2a. ]

Формула площади прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: [ S = a \cdot b. ] Подставим выражение для ( b ) в формулу площади: [ S = a \cdot (20 - 2a). ] Раскроем скобки: [ S = 20a - 2a^2. ]

Задача максимизации:

Теперь нужно найти максимальное значение функции ( S = 20a - 2a^2 ). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, причём ветви направлены вниз (так как коэффициент при ( a^2 ) отрицателен). Максимальное значение квадратичной функции достигается в вершине параболы. Координата вершины по переменной ( a ) находится по формуле: [ a = -\frac{b}{2a}, ] где ( b = 20)