Sqrt(x+4*sqrt(x-4))+sqrt(x-4*sqrt(x-4))=4

Для решения данного уравнения сначала воспользуемся подстановкой. Обозначим ( a = \sqrt{x+4\sqrt{x-4}} ) и ( b = \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} ). Тогда у нас получится система уравнений:

[ \begin{cases} a + b = 4 \ a^2 = x + 4\sqrt{x-4} \ b^2 = x - 4\sqrt{x-4} \end{cases} ]

Из первого уравнения находим, что ( a = 4 - b ). Подставляем это значение во второе и третье уравнения:

[ \begin{cases} (4 - b)^2 = x + 4\sqrt{x-4} \ b^2 = x - 4\sqrt{x-4} \end{cases} ]

Раскрываем скобки в первом уравнении и подставляем значение ( b^2 ) из третьего уравнения:

[ 16 - 8b + b^2 = x + 4\sqrt{x-4} ]

[ b^2 = x - 4\sqrt{x-4} ]

Подставляем ( b^2 ) в первое уравнение:

[ 16 - 8b + x - 4\sqrt{x-4} = x + 4\sqrt{x-4} ]

Упрощаем:

[ 16 - 8b - 4\sqrt{x-4} = 4\sqrt{x-4} ]

[ 16 - 8b = 8\sqrt{x-4} ]

[ 2 - b = \sqrt{x-4} ]

[ b = 2 - \sqrt{x-4} ]

Подставляем значение ( b ) в первое уравнение:

[ a = 4 - b = 4 - (2 - \sqrt{x-4}) = 2 + \sqrt{x-4} ]

Таким образом, получаем, что ( a = 2 + \sqrt{x-4} ) и ( b = 2 - \sqrt{x-4} ). Теперь можем найти значения ( x ) при которых это уравнение выполняется.

Для решения данного уравнения начнем с введения новой переменной для упрощения выражений под корнями. Пусть ( y = \sqrt{x-4} ). Тогда ( y^2 = x - 4 ), откуда ( x = y^2 + 4 ).

Подставим ( x ) в исходное уравнение: [ \sqrt{(y^2 + 4) + 4y} + \sqrt{(y^2 + 4) - 4y} = 4. ]

Внутри квадратных корней раскроем скобки: [ \sqrt{y^2 + 4y + 4} + \sqrt{y^2 - 4y + 4} = 4. ]

Заметим, что выражения под корнями можно представить как квадраты: [ \sqrt{(y + 2)^2} + \sqrt{(y - 2)^2} = 4. ]

Так как квадратный корень из квадрата переменной равен абсолютной величине этой переменной: [ |y + 2| + |y - 2| = 4. ]

Рассмотрим различные случаи для значений ( y ):

1. Если ( y \geq 2 ), тогда ( |y + 2| = y + 2 ) и ( |y - 2| = y - 2 ). Получаем уравнение: [ (y + 2) + (y - 2) = 4, ] [ 2y = 4, ] [ y = 2. ]

2. Если ( -2 \leq y \leq 2 ), тогда ( |y + 2| = y + 2 ) и ( |y - 2| = 2 - y ). Получаем уравнение: [ (y + 2) + (2 - y) = 4, ] [ 4 = 4, ] что верно для всех ( y ) в данном диапазоне.

3. Если ( y \leq -2 ), тогда ( |y + 2| = -(y + 2) ) и ( |y - 2| = -(y - 2) ). Получаем уравнение: [ -(y + 2) - (y - 2) = 4, ] [ -2y = 4, ] [ y = -2. ]

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения ( y ) из интервала ([-2, 2]), что соответствует ( x = y^2 + 4 ). Так как минимальное значение ( y^2 ) на этом интервале равно 0 (достигается при ( y = 0 )), а максимальное значение равно 4 (достигается при ( y = 2 ) или ( y = -2 )), то значения ( x ) могут быть от 4 до 8.