Составьте уравнение касательной к графику функции y = 3/2x^2/3 - x^-2 в точке x = 1.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = 3/2x^(2/3) - x^(-2) по переменной x: y' = (2/3)3/2x^(-1/3) + 2x^(-3) = x^(-1/3) - 2x^(-3)

2. Найдем значение производной в точке x = 1: y'(1) = 1^(1/3) - 2*1^3 = 1 - 2 = -1

3. Теперь найдем значение функции в точке x = 1: y(1) = 3/2*1^(2/3) - 1^(-2) = 3/2 - 1 = 1/2

4. Так как уравнение касательной имеет вид y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - координаты точки касания, а k - угловой коэффициент касательной, подставим полученные значения в уравнение: y - 1/2 = -1*(x - 1)

5. Упростим уравнение: y - 1/2 = -x + 1 y = -x + 3/2

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 3/2x^(2/3) - x^(-2) в точке x = 1 будет y = -x + 3/2.

Уравнение касательной к графику функции y = 3/2x^(2/3) - x^(-2) в точке x = 1: y = 3/2 - 1 = 1/2.

Для составления уравнения касательной к графику функции в заданной точке необходимо определить два основных параметра: значение функции в этой точке и производную функции в этой точке. Уравнение касательной будет иметь вид:

[ y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1) ]

где ( x_1 ) – точка, в которой касательная касается графика, ( y_1 = f(x_1) ) – значение функции в этой точке, и ( f'(x_1) ) – значение производной в этой точке.

1. Находим ( y_1 ) – значение функции в точке ( x = 1 ):

   ( f(x) = \frac{3}{2}x^{2/3} - x^{-2} )

   Подставляем ( x = 1 ):

   [ y_1 = \frac{3}{2} \cdot 1^{2/3} - 1^{-2} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} ]

2. Находим ( f'(x) ) – производную функции:

   [ f(x) = \frac{3}{2}x^{2/3} - x^{-2} ]

   Используем правило дифференцирования степенной функции:

   [ f'(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} - (-2)x^{-2-1} ] [ f'(x) = x^{-1/3} + 2x^{-3} ]

   Подставляем ( x = 1 ):

   [ f'(1) = 1^{-1/3} + 2 \cdot 1^{-3} = 1 + 2 = 3 ]

3. Составляем уравнение касательной в точке ( x = 1 ), ( y_1 = \frac{1}{2} ) и ( f'(1) = 3 ):

   [ y - \frac{1}{2} = 3(x - 1) ] [ y = 3x - 3 + \frac{1}{2} ] [ y = 3x - \frac{5}{2} ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = \frac{3}{2}x^{2/3} - x^{-2} ) в точке ( x = 1 ) имеет вид:

[ y = 3x - \frac{5}{2} ]