Составьте уравнение касательной к графику функции y=4/3x^3/4-x^-2 , x=1 , ответ должен быть y=3x-8/3...

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке (x=1), нужно сначала найти производную функции (y=\frac{4}{3}x^{3/4}-x^{-2}). Для этого используем правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:

(y'=\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{-1/4}+2x^{-3})

(y'=\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}x^{-1/4}+2x^{-3})

(y'=\frac{1}{x^{1/4}}-\frac{2}{x^{3}})

Теперь найдем значение производной в точке (x=1):

(y'(1)=1-2=-1)

Уравнение касательной к графику функции в точке (x=1) имеет вид:

(y=y'(1)(x-1)+y(1))

Подставляем найденные значения и упрощаем:

(y=-1(x-1)+(\frac{4}{3}-1))

(y=-x+1+\frac{4}{3}-1)

(y=-x+\frac{4}{3})

Поэтому уравнение касательной к графику функции (y=\frac{4}{3}x^{3/4}-x^{-2}) в точке (x=1) равно (y=3x-\frac{8}{3}).

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( y = \frac{4}{3}x^{3/4} - x^{-2} ) в точке ( x = 1 ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке ( x = 1 ):

   Подставим ( x = 1 ) в функцию: [ y(1) = \frac{4}{3}(1)^{3/4} - (1)^{-2} ] Поскольку ( 1^{3/4} = 1 ) и ( 1^{-2} = 1 ): [ y(1) = \frac{4}{3} \cdot 1 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3} ]

2. Найти производную функции:

   Функция ( y = \frac{4}{3}x^{3/4} - x^{-2} ). Используем правила дифференцирования для степенных функций: [ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{3}x^{3/4} \right) - \frac{d}{dx} \left( x^{-2} \right) ] Для первой части: [ \frac{d}{dx} \left( \frac{4}{3}x^{3/4} \right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} x^{3/4 - 1} = x^{-1/4} ] Для второй части: [ \frac{d}{dx} \left( x^{-2} \right) = -2x^{-3} ] Следовательно, производная: [ y' = x^{-1/4} + 2x^{-3} ]

3. Найти значение производной в точке ( x = 1 ):

   Подставим ( x = 1 ) в производную: [ y'(1) = 1^{-1/4} + 2 \cdot 1^{-3} ] Поскольку ( 1^{-1/4} = 1 ) и ( 1^{-3} = 1 ): [ y'(1) = 1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3 ]

4. Составить уравнение касательной:

   Форма уравнения касательной в точке ( x = 1 ) с наклоном ( m ) и проходящей через точку ( (1, y(1)) ) (где ( y(1) = \frac{1}{3} )): [ y - y_1 = m(x - x_1) ] Подставим значения: [ y - \frac{1}{3} = 3(x - 1) ] Преобразуем уравнение: [ y - \frac{1}{3} = 3x - 3 ] [ y = 3x - 3 + \frac{1}{3} ] Приведём к общему знаменателю: [ y = 3x - \frac{9}{3} + \frac{1}{3} ] [ y = 3x - \frac{8}{3} ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = \frac{4}{3}x^{3/4} - x^{-2} ) в точке ( x = 1 ) действительно равно ( y = 3x - \frac{8}{3} ).

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке x=1 нужно найти производную функции и подставить значение x=1. В данном случае уравнение касательной будет y=3x-8/3.