Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника ABC, зная уравнения его сторон:...

Для нахождения уравнения высоты, проведенной из вершины A треугольника ABC, сначала нужно найти координаты точки A, которая является пересечением прямых AB и AC.

1. Решим систему уравнений для нахождения точки A: [ 2x - y - 3 = 0 \quad (1) ] [ x + 5y - 7 = 0 \quad (2) ]

Из уравнения (1) выразим y: [ y = 2x - 3 ]

Подставим это значение в уравнение (2): [ x + 5(2x - 3) - 7 = 0 ] [ x + 10x - 15 - 7 = 0 ] [ 11x - 22 = 0 \implies x = 2 ]

Теперь подставим x = 2 в уравнение (1) для нахождения y: [ y = 2(2) - 3 = 1 ]

Таким образом, точка A имеет координаты (2, 1).

1. Найдем уравнение прямой BC, чтобы определить его наклон. Подставим уравнения BC для нахождения углового коэффициента: [ 3x - 2y + 13 = 0 \implies 2y = 3x + 13 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{13}{2} ]

Угловой коэффициент прямой BC равен (\frac{3}{2}), значит, наклон высоты, перпендикулярной к BC, будет равен (-\frac{2}{3}).

1. Используя точку A (2, 1) и угловой коэффициент высоты, запишем уравнение высоты в виде: [ y - 1 = -\frac{2}{3}(x - 2) ]

Приведем его к стандартному виду: [ y - 1 = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} ] [ y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3} ]

Таким образом, уравнение высоты, проведенной из вершины A, имеет вид: [ y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3} ]

Для нахождения уравнения высоты, проведенной через вершину A треугольника ABC, сначала необходимо найти координаты точки A, а затем уравнение высоты, проведенной из этой точки перпендикулярно к стороне BC.

Шаг 1: Находим координаты точки A

Чтобы определить координаты точки A, найдем пересечение сторон AB и AC. Для этого решим систему уравнений:

1. ( 2x - y - 3 = 0 ) (уравнение AB)
2. ( x + 5y - 7 = 0 ) (уравнение AC)

Из первого уравнения выразим ( y ):

[ y = 2x - 3 ]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

[ x + 5(2x - 3) - 7 = 0 ]

Упростим:

[ x + 10x - 15 - 7 = 0 ] [ 11x - 22 = 0 ] [ x = 2 ]

Теперь подставим значение ( x = 2 ) в уравнение для ( y ):

[ y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 ]

Таким образом, координаты точки A равны ( (2, 1) ).

Шаг 2: Находим уравнение стороны BC

Теперь найдем уравнение стороны BC, чтобы затем получить нормальный вектор к этой линии. Уравнение BC:

[ 3x - 2y + 13 = 0 ]

Коэффициенты перед ( x ) и ( y ) дают вектор нормали:

[ \vec{n} = (3, -2) ]

Шаг 3: Находим уравнение высоты

Высота из точки A будет перпендикулярна стороне BC, что означает, что направление высоты будет задано вектором, перпендикулярным вектору нормали ( \vec{n} ). Вектор, перпендикулярный ( \vec{n} = (3, -2) ), можно взять, например, ( (2, 3) ).

Теперь можем написать уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 1) с направляющим вектором ( (2, 3) ). Уравнение прямой в общем виде:

[ y - y_1 = k(x - x_1) ]

Где ( k ) — угловой коэффициент. Угловой коэффициент можно найти как:

[ k = \frac{3}{2} ]

Подставляем в уравнение:

[ y - 1 = \frac{3}{2}(x - 2) ]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

[ 2(y - 1) = 3(x - 2) ] [ 2y - 2 = 3x - 6 ] [ 3x - 2y - 4 = 0 ]

Ответ

Уравнение высоты, проведенной из вершины A треугольника ABC, имеет вид:

[ 3x - 2y - 4 = 0 ]

Для составления уравнения высоты, проведенной из вершины ( A ) треугольника ( ABC ), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты вершины ( A ): Вершина ( A ) треугольника — это точка пересечения прямых ( AB ) и ( AC ). Для нахождения координат этой точки решим систему двух уравнений: [ \begin{cases} 2x - y - 3 = 0, \ x + 5y - 7 = 0. \end{cases} ]

   Из первого уравнения выразим ( y ): [ y = 2x - 3. ]

   Подставим это значение ( y ) во второе уравнение: [ x + 5(2x - 3) - 7 = 0, \quad x + 10x - 15 - 7 = 0, \quad 11x - 22 = 0, \quad x = 2. ]

   Найдем ( y ), подставив ( x = 2 ) в ( y = 2x - 3 ): [ y = 2(2) - 3 = 1. ]

   Значит, координаты точки ( A ): ( A(2, 1) ).

2. Найти уравнение стороны ( BC ): Уравнение стороны ( BC ) уже дано: ( 3x - 2y + 13 = 0 ).

3. Определить направление высоты: Высота, проведенная из вершины ( A ), перпендикулярна стороне ( BC ). Коэффициенты нормали к прямой ( BC ) задаются уравнением ( 3x - 2y + 13 = 0 ), поэтому направляющий вектор этой прямой: ( \vec{v}_{BC} = (3, -2) ).

   Вектор, перпендикулярный ( \vec{v}{BC} ), будет направляющим вектором высоты. Такой вектор (перпендикулярный) можно взять как ( \vec{v}{h} = (-2, -3) ), меняя местами коэффициенты при ( x ) и ( y ) и меняя знак одного из коэффициентов.

4. Записать уравнение высоты: Уравнение прямой, проходящей через точку ( A(2, 1) ) с направляющим вектором ( \vec{v}_{h} = (-2, -3) ), имеет вид: [ -2(x - 2) - 3(y - 1) = 0. ]

   Упростим это уравнение: [ -2x + 4 - 3y + 3 = 0, \quad -2x - 3y + 7 = 0. ]

   Таким образом, уравнение высоты, проведенной из вершины ( A ), имеет вид: [ -2x - 3y + 7 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 3y - 7 = 0. ]

Ответ: Уравнение высоты, проведенной из вершины ( A ) треугольника ( ABC ), имеет вид: [ 2x + 3y - 7 = 0. ]