Составить уравнение прямой проходящей через центр окружности x^2+y^2-4x+6y-3=0 параллельно прямой 2x-y+1=0....

Для решения задачи найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности ( x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 ) и параллельной прямой ( 2x - y + 1 = 0 ). Разберем решение по шагам.

Шаг 1: Найдем центр окружности

Общее уравнение окружности имеет вид: [ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, ] где ( D, E, F ) — коэффициенты. Центр окружности находится в точке ((-D/2, -E/2)).

В данном случае: [ D = -4, \quad E = 6, \quad F = -3. ]

Координаты центра: [ x_c = -\frac{D}{2} = -\frac{-4}{2} = 2, \quad y_c = -\frac{E}{2} = -\frac{6}{2} = -3. ]

Центр окружности: ( (2, -3) ).

Шаг 2: Уравнение прямой, параллельной ( 2x - y + 1 = 0 )

Прямая ( 2x - y + 1 = 0 ) имеет угловой коэффициент ( k ). Чтобы найти ( k ), преобразуем уравнение к виду ( y = kx + b ): [ 2x - y + 1 = 0 \implies y = 2x + 1. ] Значит, угловой коэффициент ( k = 2 ).

Прямая, параллельная данной, должна иметь такой же угловой коэффициент ( k = 2 ). Следовательно, её уравнение имеет вид: [ y = 2x + b, ] где ( b ) — свободный член.

Шаг 3: Прямая проходит через центр окружности

Так как прямая проходит через точку ( (2, -3) ), подставим её координаты в уравнение ( y = 2x + b ): [ -3 = 2 \cdot 2 + b \implies -3 = 4 + b \implies b = -7. ]

Таким образом, уравнение прямой: [ y = 2x - 7. ]

Шаг 4: Итоговое уравнение

Перепишем уравнение в общем виде: [ y - 2x + 7 = 0. ]

Это уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной заданной прямой.

Шаг 5: Построение чертежа

Для построения:

1. Нарисуем окружность с центром в точке ( (2, -3) ). Радиус окружности можно найти, но это необязательно для данной задачи.
2. Построим прямую ( y = 2x - 7 ), проходящую через центр окружности ( (2, -3) ) и параллельную ( y = 2x + 1 ).

Для построения прямой ( y = 2x - 7 ):

• Найдем две точки, принадлежащие прямой. Например, при ( x = 0 ), ( y = -7 ) (точка ( (0, -7) )). При ( x = 1 ), ( y = -5 ) (точка ( (1, -5) )).

Для построения прямой ( y = 2x + 1 ):

• Найдем две точки, принадлежащие прямой. Например, при ( x = 0 ), ( y = 1 ) (точка ( (0, 1) )). При ( x = -1 ), ( y = -1 ) (точка ( (-1, -1) )).

Теперь можно построить окружность и обе прямые на одной координатной плоскости.

Если хотите, могу объяснить, как построить график вручную или с помощью программ, например GeoGebra или Desmos.

Сначала найдем центр окружности, заданной уравнением (x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0). Приведем его к стандартному виду:

1. Перепишем уравнение, сгруппировав по (x) и (y): [ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3 ]

2. Завершим квадрат: [ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 3 ] [ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 ]

Центр окружности находится в точке ((2, -3)).

Теперь найдем уравнение прямой, параллельной прямой (2x - y + 1 = 0). Сначала найдем её угловой коэффициент: [ y = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad k = 2 ] Прямая, проходящая через точку ((2, -3)) и имеющая такой же угловой коэффициент, будет иметь вид: [ y + 3 = 2(x - 2) ] Упростим это уравнение: [ y + 3 = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 7 ]

Таким образом, уравнение искомой прямой: [ y = 2x - 7 ]

Что касается чертежа, я не могу его создать, но вы можете изобразить окружность с центром в ((2, -3)) и радиусом (4), а затем нарисовать прямую (y = 2x - 7), которая будет параллельна данной прямой.

Для начала, давайте разберемся с окружностью, заданной уравнением:

[ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0. ]

Чтобы преобразовать это уравнение в стандартный вид, сначала сгруппируем и упростим его. Мы можем сделать это, используя метод выделения полного квадрата.

1. Сначала сгруппируем x и y:

[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3. ]

1. Теперь выделим полный квадрат для x:

[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4. ]

1. И для y:

[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. ]

1. Подставим эти выражения обратно в уравнение:

[ ((x - 2)^2 - 4) + ((y + 3)^2 - 9) = 3. ]

1. Упростим уравнение:

[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 3. ]

[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. ]

Таким образом, мы получили уравнение окружности в стандартном виде:

[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4^2. ]

Это означает, что центр окружности находится в точке (C(2, -3)), а радиус равен 4.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной прямой (2x - y + 1 = 0).

1. Прежде всего, найдем угол наклона данной прямой. Уравнение можно записать в виде:

[ y = 2x + 1. ]

Это показывает, что угловой коэффициент (наклон) данной прямой равен 2.

1. Так как новая прямая должна быть параллельна данной, она также будет иметь угловой коэффициент 2. Используя точку (C(2, -3)), мы можем записать уравнение прямой в точечно-угловой форме:

[ y - y_1 = m(x - x_1), ]

где (m) — угловой коэффициент, а ((x_1, y_1)) — координаты точки.

Подставим значения:

[ y - (-3) = 2(x - 2). ]

1. Упрощаем:

[ y + 3 = 2x - 4. ]

[ y = 2x - 7. ]

Итак, уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной заданной прямой, имеет вид:

[ y = 2x - 7. ]

Теперь, чтобы сделать чертеж, мы можем нарисовать координатную плоскость и обозначить на ней следующие элементы:

• Центр окружности (C(2, -3)).
• Окружность с радиусом 4, которую можно нарисовать, отметив точки на расстоянии 4 от центра в различных направлениях.
• Прямую (y = 2x - 7), которая будет проходить через точку (C) и иметь угол наклона 2.

Если вы хотите создать чертеж, вы можете использовать графические программы, такие как GeoGebra или Desmos, или нарисовать это вручную на координатной плоскости.