Составить график функции у=(1/2)^х

Чтобы построить график функции y=(1/2)^x, сначала необходимо определить, как будет меняться значение y в зависимости от значения x. В данном случае, при увеличении x значение (1/2)^x будет убывать, так как основание (1/2) меньше 1.

Построим таблицу значений: x | y 0 | 1 1 | 1/2 2 | 1/4 3 | 1/8 и т.д.

Теперь, используя эти значения, мы можем построить график функции. График будет представлять собой кривую, начинающуюся в точке (0,1) и стремящуюся к нулю при увеличении x. График будет расположен в первой четверти координатной плоскости и будет стремиться к оси x (ось абсцисс) при x -> +бесконечности.

Таким образом, график функции y=(1/2)^x будет выглядеть как экспоненциально убывающая кривая, приближающаяся к оси x.

График функции у=(1/2)^х - это парабола, которая стремится к оси x при увеличении значения x.

Конечно! Давайте рассмотрим функцию ( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x ) и построим её график.

1. Основные свойства функции

Экспоненциальная функция

Функция ( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x ) является экспоненциальной функцией. В общем виде экспоненциальная функция записывается как ( y = a^x ), где ( 0 < a < 1 ) для случая убывающей экспоненты. В нашем случае ( a = \frac{1}{2} ).

Область определения

Область определения функции ( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x ) — все действительные числа: ( x \in \mathbb{R} ).

Область значений

Область значений функции — все положительные действительные числа: ( y > 0 ).

Поведение функции

• При ( x \to -\infty ) значение функции ( y \to \infty ).
• При ( x \to \infty ) значение функции ( y \to 0 ).

Асимптоты

Горизонтальная асимптота: прямая ( y = 0 ).

Пересечение с осями

• Пересечение с осью ( y ) (когда ( x = 0 )): ( y = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 ).
• Пересечений с осью ( x ) нет, поскольку ( y ) всегда положительно.

2. Построение таблицы значений

Для построения графика удобно создать таблицу значений, выбрав несколько значений ( x ) и вычислив соответствующие значения ( y ).

[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \ \hline -2 & 4 \ -1 & 2 \ 0 & 1 \ 1 & \frac{1}{2} \ 2 & \frac{1}{4} \ 3 & \frac{1}{8} \ \hline \end{array} ]

3. Построение графика

1. Ось ( y ): отметьте точку (0, 1), так как функция пересекает ось ( y ) в этой точке.

2. Отметьте другие точки из таблицы на координатной плоскости:

   • (-2, 4)
   • (-1, 2)
   • (1, 0.5)
   • (2, 0.25)
   • (3, 0.125)

3. Соедините точки плавной кривой, которая стремится к оси ( x ) (горизонтальная асимптота ( y = 0 )) при ( x \to \infty ) и уходит вверх при ( x \to -\infty ).

4. Анализ графика

График функции ( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x ) представляет собой убывающую экспоненциальную кривую:

• Она быстро падает к нулю при ( x > 0 ).
• Резко возрастает при ( x < 0 ).
• Не пересекает ось ( x ).

Заключение

График функции ( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x ) показывает экспоненциальное уменьшение значений ( y ) по мере увеличения ( x ) и экспоненциальное увеличение значений ( y ) по мере уменьшения ( x ). Это типичный график убывающей экспоненты.