Сократите дробь: x^3+x^2-72x __________ 9x-72

Чтобы сократить дробь (\frac{x^3 + x^2 - 72x}{9x - 72}), нужно сначала упростить числитель и знаменатель.

1. Числитель: (x^3 + x^2 - 72x)

   Заметим, что во всех членах числителя есть общий множитель (x). Вынесем его за скобки:

   [ x(x^2 + x - 72) ]

   Теперь разложим квадратный трёхчлен (x^2 + x - 72) на множители. Для этого найдем корни уравнения (x^2 + x - 72 = 0) с помощью дискриминанта:

   [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 ]

   Так как дискриминант равен 289, который является полным квадратом (17^2), значит, уравнение имеет два действительных корня:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 17}{2} ]

   [ x_1 = \frac{-1 + 17}{2} = 8 ]

   [ x_2 = \frac{-1 - 17}{2} = -9 ]

   Таким образом, (x^2 + x - 72) можно разложить на множители:

   [ x^2 + x - 72 = (x - 8)(x + 9) ]

   Следовательно, числитель можно записать как:

   [ x(x - 8)(x + 9) ]

2. Знаменатель: (9x - 72)

   Здесь также можно вынести общий множитель за скобки:

   [ 9(x - 8) ]

Теперь дробь имеет вид:

[ \frac{x(x - 8)(x + 9)}{9(x - 8)} ]

Мы видим, что (x - 8) является общим множителем в числителе и знаменателе, поэтому можно сократить:

[ \frac{x(x + 9)}{9} ]

Таким образом, сокращенная форма дроби:

[ \frac{x(x + 9)}{9} ]

Это и будет окончательным ответом.

Для сокращения дроби необходимо найти их общий делитель и разделить числитель и знаменатель на него. В данном случае общим делителем для числителя x^3 + x^2 - 72x и знаменателя 9x - 72 является 9. Разделим каждый член числителя на 9:

(x^3 + x^2 - 72x) / 9 = (x^3/9 + x^2/9 - 72x/9) = x^2/9 + x/9 - 8x

Таким образом, сокращенная дробь будет иметь вид: (x^2/9 + x/9 - 8x) / (9x - 72)