Сократите дробь: x^2+x-12/x-3

Для того чтобы сократить дробь (\frac{x^2 + x - 12}{x - 3}), нужно выполнить следующие шаги:

1. Разложение числителя на множители:

   • Числитель дроби (x^2 + x - 12) является квадратным трёхчленом. Чтобы разложить его на множители, найдем корни этого трёхчлена, используя метод разложения или по формуле для корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0).

   В нашем случае (a = 1), (b = 1), и (c = -12). Найдём корни уравнения (x^2 + x - 12 = 0) с использованием квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Подставим значения (a), (b) и (c): [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} ] [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} ] [ x = \frac{-1 \pm 7}{2} ] Таким образом, у нас два корня: [ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 ] [ x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 ]

2. Представление числителя в виде произведения множителей:

   • Теперь мы можем записать числитель в виде произведения двух множителей: [ x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) ]

3. Запись исходной дроби с разложенным числителем:

   • Подставим разложение числителя в исходную дробь: [ \frac{x^2 + x - 12}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 4)}{x - 3} ]

4. Сокращение дроби:

   • Мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель ((x - 3)), который можно сократить при условии, что (x \neq 3) (чтобы не делить на ноль): [ \frac{(x - 3)(x + 4)}{x - 3} = x + 4 \quad \text{при } x \neq 3 ]

Итак, сокращённая форма дроби (\frac{x^2 + x - 12}{x - 3}) равна (x + 4), при условии, что (x \neq 3).

Для сокращения дроби x^2 + x - 12 / x - 3 необходимо разложить числитель на множители, чтобы затем сократить общие множители с числителем.

x^2 + x - 12 можно разложить на (x + 4)(x - 3), так как произведение -3 и 4 равно -12, а их сумма равна x.

Теперь дробь выглядит так: (x + 4)(x - 3) / (x - 3)

Общий множитель (x - 3) можно сократить, оставляя только (x + 4) в числителе.

Итак, после сокращения дробь будет равна x + 4.