Сократите дробь: a) √5+1/√10+√2 б) 2-√2/√6-√3 в) x²-2/√2x+2

a) Сначала умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы избавиться от знаменателя. Получаем: (√5+1)(√10-√2)/((√10+√2)(√10-√2)) = (√50 - √10 + √10 - √2)/(10 - 2) = (√50 - √2)/8

б) Аналогично умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение: (2-√2)(√6+√3)/((√6-√3)(√6+√3)) = (2√6 + 2√3 - 2√6 + √6)/3 = (√6 + √3)/3

в) Для сокращения этой дроби, нужно вынести x из знаменателя: (x²-2)/(√2x+2) = (x²-2)/(x(√2+2)) = (x-√2)(x+√2)/(x(√2+2)) = (x+√2)/√2+2

Конечно, давайте рассмотрим, как сократить каждую из данных дробей.

a) (\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{10} + \sqrt{2}})

Для упрощения дробей с радикалами в знаменателе, часто используется метод "рационализации", то есть умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Здесь знаменатель (\sqrt{10} + \sqrt{2}) и его сопряженное выражение будет (\sqrt{10} - \sqrt{2}).

1. Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{10} - \sqrt{2}):

[ \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})} ]

1. Раскроем скобки в числителе:

[ (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{10} - \sqrt{2} ]

[ = \sqrt{50} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} ]

1. Упростим знаменатель:

[ (\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8 ]

1. Итоговая дробь:

[ \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

б) (\frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}})

Используем тот же метод рационализации. Сопряженное выражение к (\sqrt{6} - \sqrt{3}) будет (\sqrt{6} + \sqrt{3}).

1. Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{6} + \sqrt{3}):

[ \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})} ]

1. Раскроем скобки в числителе:

[ (2 - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{6} - \sqrt{2}\sqrt{3} ]

[ = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - \sqrt{6} ]

[ = \sqrt{6} ]

1. Упростим знаменатель:

[ (\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3 ]

1. Итоговая дробь:

[ \frac{\sqrt{6}}{3} ]

в) (\frac{x^2 - 2}{\sqrt{2}x + 2})

Здесь знаменатель не содержит радикалов, поэтому рационализация не требуется. Попробуем упростить дробь другим способом.

1. Разберем числитель и знаменатель. В числителе (x^2 - 2) нельзя факторизовать в простом виде, так как это не разность квадратов. Однако, можно оставить это выражение в исходной форме.

2. Проверим, можно ли упростить дробь напрямую. Так как радикалов нет, дробь уже в упрощенном виде.

Таким образом, окончательный ответ будет:

[ \frac{x^2 - 2}{\sqrt{2}x + 2} ]

Надеюсь, это поможет вам понять процесс упрощения данных дробей!