Сократите дробь а) -14a^2b5/21a^3b^2 b) 3x^3+21x^2/6x+42 B)ab+2b/a^2-4 g)x^2+6x+9/x^3+27

a) Для сокращения дроби -14a^2b^5 / 21a^3b^2 мы сначала находим общие множители числителя и знаменателя. В данном случае общим множителем является a^2b^2. Делим числитель и знаменатель на общий множитель: -14a^2b^5 / 21a^3b^2 = (-14/21) (a^2 / a^3) (b^5 / b^2) = -2/3 1/a b^3 = -2b^3 / 3a

b) Для сокращения дроби (3x^3 + 21x^2) / (6x + 42) мы сначала выносим общий множитель из числителя (3x^2), затем из знаменателя (6): (3x^3 + 21x^2) / (6x + 42) = 3x^2(x + 7) / 6(x + 7) = 3x^2 / 6 = x^2 / 2

c) Для сокращения дроби (ab + 2b) / (a^2 - 4) мы видим, что разность квадратов a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2). Разлагаем исходное выражение на простейшие дроби: (ab + 2b) / (a^2 - 4) = (b(a + 2)) / ((a - 2)(a + 2)) = b / (a - 2)

Сокращение дробей — это процесс упрощения дроби путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель. Давайте разберем каждую из указанных дробей:

a) (-\frac{14a^2b^5}{21a^3b^2})

1. Найдем общий делитель числителя и знаменателя.

   • Числовые коэффициенты: наибольший общий делитель 14 и 21 равен 7.
   • Переменная (a): (a^2) в числителе и (a^3) в знаменателе. Общий делитель — (a^2).
   • Переменная (b): (b^5) в числителе и (b^2) в знаменателе. Общий делитель — (b^2).

2. Разделим числитель и знаменатель на общий делитель: [ -\frac{14a^2b^5}{21a^3b^2} = -\frac{14 \div 7 \cdot a^2 \div a^2 \cdot b^5 \div b^2}{21 \div 7 \cdot a^3 \div a^2 \cdot b^2 \div b^2} = -\frac{2b^3}{3a} ]

b) (\frac{3x^3 + 21x^2}{6x + 42})

1. Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

   • В числителе: (3x^2(x + 7))
   • В знаменателе: (6(x + 7))

2. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель ((x + 7)): [ \frac{3x^3 + 21x^2}{6x + 42} = \frac{3x^2(x + 7)}{6(x + 7)} = \frac{3x^2}{6} = \frac{x^2}{2} ]

B) (\frac{ab + 2b}{a^2 - 4})

1. В числителе вынесем общий множитель (b):

   • Числитель: (b(a + 2))

2. Знаменатель распадается на разность квадратов:

   • Знаменатель: ((a + 2)(a - 2))

3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель ((a + 2)): [ \frac{ab + 2b}{a^2 - 4} = \frac{b(a + 2)}{(a + 2)(a - 2)} = \frac{b}{a - 2} ] (при условии, что (a \neq -2) для избежания деления на ноль)

g) (\frac{x^2 + 6x + 9}{x^3 + 27})

1. Заметим, что числитель и знаменатель могут быть разложены на множители:

   • Числитель: ((x + 3)^2)
   • Знаменатель: (x^3 + 27) распадается как сумма кубов: ((x + 3)(x^2 - 3x + 9))

2. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель ((x + 3)): [ \frac{x^2 + 6x + 9}{x^3 + 27} = \frac{(x + 3)^2}{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)} = \frac{x + 3}{x^2 - 3x + 9} ] (при условии, что (x \neq -3) для избежания деления на ноль)

Таким образом, мы сократили все дроби, следуя правилам алгебры.