Сократите дробь: 4c^2 + 7c - 2 1 - 16c^2 желательно поподробней

Для сокращения данной дроби нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители, если это возможно.

Чтобы разложить числитель, нужно найти два числа, произведение которых равно произведению первого и последнего коэффициентов. В данном случае это числа 8 и -1, так как 8*(-1) = -8 и 8-1 = 7, что соответствует коэффициентам 4 и -2. Теперь мы можем разложить числитель на два множителя: 4c^2 + 8c - c - 2.

Теперь разложим знаменатель. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению первого и последнего коэффициентов. В данном случае это числа 4 и -4, так как 4*(-4) = -16 и 4-(-4) = 8, что соответствует коэффициентам 1 и -16. Теперь мы можем разложить знаменатель на два множителя: 1 - 4c^2 + 4c - c.

Теперь дробь примет вид: (4c^2 + 8c - c - 2) / (1 - 4c^2 + 4c - c).

Теперь можно сократить числитель и знаменатель, упростив дробь.

Давайте рассмотрим дробь (\frac{4c^2 + 7c - 2}{1 - 16c^2}) и попробуем её упростить.

Для начала рассмотрим числитель (4c^2 + 7c - 2). Нам нужно разложить его на множители. Для этого мы используем метод разложения на множители через нахождение корней квадратного уравнения.

Итак, (4c^2 + 7c - 2) — это квадратное уравнение вида (ax^2 + bx + c), где (a = 4), (b = 7), (c = -2).

Для нахождения корней этого уравнения используем формулу: [ c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставим значения: [ c = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} ] [ c = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{8} ] [ c = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{8} ] [ c = \frac{-7 \pm 9}{8} ]

Теперь найдём оба корня уравнения: [ c_1 = \frac{-7 + 9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} ] [ c_2 = \frac{-7 - 9}{8} = \frac{-16}{8} = -2 ]

Теперь у нас есть корни ( c = \frac{1}{4} ) и ( c = -2 ). Это позволяет нам разложить многочлен (4c^2 + 7c - 2) на множители: [ 4c^2 + 7c - 2 = 4(c - \frac{1}{4})(c + 2) ]

Приведём множители к общему виду: [ 4c^2 + 7c - 2 = (4c - 1)(c + 2) ]

Теперь рассмотрим знаменатель (1 - 16c^2). Он также является разностью квадратов: [ 1 - 16c^2 = (1)^2 - (4c)^2 = (1 + 4c)(1 - 4c) ]

Теперь подставим разложенные множители в исходную дробь: [ \frac{4c^2 + 7c - 2}{1 - 16c^2} = \frac{(4c - 1)(c + 2)}{(1 + 4c)(1 - 4c)} ]

Заметим, что ((1 - 4c)) можно записать как (-(4c - 1)): [ 1 - 4c = -(4c - 1) ]

Тогда дробь принимает вид: [ \frac{(4c - 1)(c + 2)}{(1 + 4c)(-(4c - 1))} = \frac{(4c - 1)(c + 2)}{-(4c - 1)(1 + 4c)} ]

Сократим общий множитель ((4c - 1)): [ = \frac{c + 2}{-(1 + 4c)} ]

Приведём знаменатель к стандартному виду: [ = -\frac{c + 2}{1 + 4c} ]

Таким образом, сокращённая форма дроби (\frac{4c^2 + 7c - 2}{1 - 16c^2}) будет: [ -\frac{c + 2}{1 + 4c} ]

Это окончательный ответ.