Сколько различных спортивных прогнозов могут дать болельщики перед началом первенства по футболу, если...

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть задачу как задачу на перестановки и выбор. Итак, разберем вопрос пошагово.

Условие

В чемпионате участвуют 15 команд, и нужно определить, сколько различных прогнозов относительно распределения трех медалей (золотой, серебряной и бронзовой) могут сделать болельщики.

Шаг 1: Понимание задачи

Каждая медаль (золотая, серебряная и бронзовая) может достаться одной из 15 команд. Распределение медалей важно: одна команда может занять только одно место, и порядок мест имеет значение (то есть, например, прогноз "Команда A - золото, Команда B - серебро, Команда C - бронза" отличается от прогноза "Команда A - золото, Команда C - серебро, Команда B - бронза").

Шаг 2: Использование перестановок

Задача сводится к выбору и упорядочиванию трех команд из 15. Это можно решить с использованием перестановок. Формула числа перестановок без повторений выглядит так:

[ P_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}, ]

где:

• ( n ) — общее число элементов (в нашем случае ( n = 15 )),
• ( k ) — количество элементов, которые нужно упорядочить (в нашем случае ( k = 3 )).

Шаг 3: Подстановка значений

Подставим в формулу наши значения ( n = 15 ) и ( k = 3 ):

[ P_{15}^3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!}. ]

Факториал ( 15! ) — это произведение всех чисел от 1 до 15. Но нам не нужно полностью вычислять ( 15! ), потому что ( 12! ) в знаменателе сокращается:

[ P_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13. ]

Шаг 4: Вычисление

Теперь произведем вычисления:

[ 15 \cdot 14 = 210, ] [ 210 \cdot 13 = 2730. ]

Ответ

Всего можно дать 2730 различных прогнозов о распределении медалей перед началом первенства.

Разъяснение

Каждый прогноз определяет, какая команда займет первое место (15 вариантов), какая займет второе место (14 вариантов после выбора первой команды), и какая займет третье место (13 вариантов после выбора первых двух). Учитывая порядок, общее число прогнозов составляет 2730.

Чтобы найти количество различных спортивных прогнозов на распределение медалей между 15 командами, нужно использовать формулу для перестановок. Мы выбираем 3 команды из 15, и порядок имеет значение, так как медали различны.

Количество способов выбрать 3 команды из 15 с учетом порядка можно вычислить так:

P(15, 3) = 15! / (15 - 3)! = 15! / 12! = 15 × 14 × 13 = 2730.

Таким образом, болельщики могут дать 2730 различных прогнозов.

Для решения задачи о количестве различных спортивных прогнозов, которые могут дать болельщики перед началом первенства, давайте разберем ситуацию подробнее.

В высшей лиге участвуют 15 команд, и нам нужно определить, сколько способов можно выбрать три призовых места (золотая, серебряная и бронзовая медали). Поскольку медали различаются, порядок команд имеет значение.

Шаг 1: Определение количества способов выбрать команды

1. Выбор команды для золотой медали: Мы можем выбрать любую из 15 команд, то есть у нас есть 15 вариантов.
2. Выбор команды для серебряной медали: После выбора команды для золотой медали остаётся 14 команд. Соответственно, у нас есть 14 вариантов для выбора команды, которая займёт второе место.
3. Выбор команды для бронзовой медали: После выбора команд для золотой и серебряной медалей остаётся 13 команд. Значит, есть 13 вариантов для выбора команды, которая займёт третье место.

Шаг 2: Подсчет общего количества прогнозов

Теперь мы можем подсчитать общее количество способов выбрать команды для всех трех медалей. Мы перемножаем количество вариантов на каждом шаге:

[ \text{Общее количество прогнозов} = 15 \times 14 \times 13 ]

Шаг 3: Вычисление

Теперь произведем вычисления:

[ 15 \times 14 = 210 ]

[ 210 \times 13 = 2730 ]

Таким образом, общее количество различных спортивных прогнозов, которые могут дать болельщики перед началом первенства, составляет 2730.

Заключение

В результате, болельщики могут сделать 2730 различных прогнозов, выбирая команды, которые займут призовые места в соревновании.