Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся карандашей восьми...

Чтобы найти количество способов, которыми можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся карандашей различных цветов, нужно использовать понятие сочетаний.

Сочетание (или комбинация) — это выборка элементов из множества, в которой порядок элементов не имеет значения. Формула для вычисления количества сочетаний из ( n ) элементов по ( k ) элементам (обозначается как ( C(n, k) )) выглядит так:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Где:

• ( n ) — общее количество элементов (в нашем случае ( n = 8 )),
• ( k ) — количество элементов в выбираемой выборке (в нашем случае ( k = 5 )),
• ( n! ) — факториал числа ( n ) (произведение всех целых чисел от 1 до ( n )).

Подставим значения ( n = 8 ) и ( k = 5 ) в формулу:

[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} ]

Теперь вычислим факториалы:

• ( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 )
• ( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 )
• ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )

Подставим эти значения в формулу:

[ C(8, 5) = \frac{40320}{120 \times 6} = \frac{40320}{720} = 56 ]

Таким образом, существует 56 различных способов составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 карандашей различных цветов.

Для решения данной задачи используем комбинаторику. Мы должны выбрать 5 карандашей из 8 имеющихся. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(8, 5) = 8! / (5! * (8-5)!) = 56 Таким образом, способов составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся, всего 56.

Количество способов выбрать 5 карандашей из 8 различных равно 8 по 5, что равно 56.