Sinx+sin3x+sin5x+sin7x=0

Для решения уравнения (\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 0) можно использовать преобразования тригонометрических функций. Воспользуемся формулами сложения и преобразования суммы синусов.

Сначала применим формулу суммы синусов:

[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right) ]

Применим эту формулу к первой паре слагаемых, (\sin x + \sin 7x):

[ \sin x + \sin 7x = 2 \sin \left( \frac{x + 7x}{2} \right) \cos \left( \frac{x - 7x}{2} \right) = 2 \sin(4x) \cos(3x) ]

Аналогично, применим формулу ко второй паре, (\sin 3x + \sin 5x):

[ \sin 3x + \sin 5x = 2 \sin \left( \frac{3x + 5x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x - 5x}{2} \right) = 2 \sin(4x) \cos(x) ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ 2 \sin(4x) \cos(3x) + 2 \sin(4x) \cos(x) = 0 ]

Вынесем общий множитель (2 \sin(4x)):

[ 2 \sin(4x) (\cos(3x) + \cos(x)) = 0 ]

Для того чтобы это произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

1. (\sin(4x) = 0)
2. (\cos(3x) + \cos(x) = 0)

Рассмотрим первый случай:

(\sin(4x) = 0)

[ 4x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Отсюда:

[ x = \frac{n\pi}{4} ]

Рассмотрим второй случай:

(\cos(3x) + \cos(x) = 0)

Используем формулу суммы косинусов:

[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right) ]

Применим её:

[ \cos(3x) + \cos(x) = 2 \cos \left( \frac{3x + x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x - x}{2} \right) = 2 \cos(2x) \cos(x) = 0 ]

Здесь снова один из множителей должен быть равен нулю:

1. (\cos(2x) = 0)
2. (\cos(x) = 0)

Рассмотрим сначала (\cos(2x) = 0):

[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Откуда:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ]

Теперь рассмотрим (\cos(x) = 0):

[ x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения (\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 0) будет объединением всех полученных решений:

[ x = \frac{n\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} ]

или

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ]

или

[ x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} ]

Для решения уравнения sinx + sin3x + sin5x + sin7x = 0 сначала используем формулу суммы синусов: sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2). Применим эту формулу к первым двум синусам: sinx + sin3x = 2sin(2x)cosx. Аналогично, sin5x + sin7x = 2sin(6x)cosx. Заменяем исходное уравнение на 2sin(2x)cosx + 2sin(6x)cosx = 0, что равно 2cosx(sin(2x) + sin(6x)) = 0. Теперь рассмотрим два случая: когда cosx = 0 и когда sin(2x) + sin(6x) = 0. Первый случай приводит к решению x = π/2 + πn, где n - целое число. Второй случай требует дополнительных шагов для решения.

Сумма синусов не может быть равна нулю для всех значений x.