Sin(x-п/6)=-корень из 3/2 помогите, пожалуйста *найдите наименьший положительный корень уравнения

Для решения уравнения (\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}), нам необходимо найти значение (x), при котором синус выражения дает указанное значение. Давайте разберём это по шагам.

Шаг 1: Определение основного угла

Сначала вспомним, при каких углах синус принимает значение (-\frac{\sqrt{3}}{2}). Это значение соответствует углу (\frac{4\pi}{3}) и (\frac{5\pi}{3}) в интервале от 0 до (2\pi), потому что синус отрицателен во второй и третьей четверти.

Шаг 2: Применение сдвига угла

У нас есть уравнение (\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}). Это значит, что

[ x - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, ]

где (k) — целое число, которое учитывает периодичность функции синуса.

Шаг 3: Решение уравнений

Теперь решим каждое из этих уравнений для (x):

1. ( x - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi )

   [ x = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{9\pi}{6} + 2k\pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi. ]

2. ( x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi )

   [ x = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{10\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi. ]

Шаг 4: Нахождение наименьшего положительного корня

Теперь найдем наименьшее положительное значение (x):

• Для первого уравнения (x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi), при (k = 0), получаем (x = \frac{3\pi}{2}).
• Для второго уравнения (x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi), при (k = 0), получаем (x = \frac{11\pi}{6}).

Сравнивая (\frac{3\pi}{2}) и (\frac{11\pi}{6}), видим, что:

[ \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} ]

Таким образом, (\frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}).

Следовательно, наименьший положительный корень уравнения (\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) равен (x = \frac{3\pi}{2}).

Для решения уравнения sin(x-π/6) = -√3/2, мы можем использовать формулу синуса разности: sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b).

Заменим a = x и b = π/6 в формуле, получим: sin(x)cos(π/6) - cos(x)sin(π/6) = -√3/2.

Так как cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2, подставим значения: sin(x)√3/2 - cos(x)1/2 = -√3/2.

Упрощаем уравнение: √3sin(x) - cos(x)/2 = -√3/2.

Далее, воспользуемся формулой sin(α) = √(1-cos^2(α)), чтобы заменить sin(x) в уравнении: √3*√(1-cos^2(x)) - cos(x)/2 = -√3/2.

Решив это уравнение, мы найдем наименьший положительный корень x.

x = п/3 + 2πn, где n - целое число.