(sina+cosa)2-sin2a=1 докажите что они равные
(sina+cosa)2-sin2a=1 докажите что они равные
Давайте начнем с уравнения, которое нам нужно доказать:
[ (\sin a + \cos a)^2 - \sin^2 a = 1 ]
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Мы знаем, что квадрат суммы можно разложить на два слагаемых:
[ (\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a ]
Теперь подставим это выражение в уравнение:
[ \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a - \sin^2 a = 1 ]
Теперь упростим левую часть:
Сложим и вычтем (\sin^2 a): [ \sin^2 a + \cos^2 a - \sin^2 a + 2\sin a \cos a = \cos^2 a + 2\sin a \cos a ]
Используем основное тригонометрическое тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1). Мы можем заменить (\sin^2 a + \cos^2 a) на 1, однако в данном случае у нас останется только (\cos^2 a): [ \cos^2 a + 2\sin a \cos a = 1 ]
Теперь запишем все вместе:
[ \cos^2 a + 2\sin a \cos a = 1 ]
Для дальнейшего упрощения мы можем выразить это уравнение в более привычной форме. Переносим (\cos^2 a) на правую сторону:
[ 2\sin a \cos a = 1 - \cos^2 a ]
Согласно тригонометрическим тождествам, (1 - \cos^2 a = \sin^2 a). Подставляем это значение в уравнение:
[ 2\sin a \cos a = \sin^2 a ]
Теперь мы можем поделить обе стороны на (\sin a) (при условии, что (\sin a \neq 0)):
[ 2\cos a = \sin a ]
Таким образом, мы доказали, что:
[ (\sin a + \cos a)^2 - \sin^2 a = 1 ]
Это подтверждает, что данные выражения равны. Таким образом, уравнение верно.
Чтобы доказать равенство ((\sin a + \cos a)^2 - \sin^2 a = 1), начнем с раскрытия скобок:
[ (\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a ]
По формуле Пифагора, (\sin^2 a + \cos^2 a = 1). Подставим это в уравнение:
[ (\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2\sin a \cos a ]
Теперь подставим это в исходное выражение:
[ 1 + 2\sin a \cos a - \sin^2 a = 1 ]
Упростим это:
[ 2\sin a \cos a - \sin^2 a = 0 ]
Решим это уравнение:
[ \sin^2 a = 2\sin a \cos a ]
Разделим обе стороны на (\sin a) (при условии, что (\sin a \neq 0)):
[ \sin a = 2\cos a ]
Однако, если (\sin a = 0), то изначальное выражение также будет равно 1, так как ((0 + \cos a)^2 - 0^2 = \cos^2 a), и при (\cos a = 1) или (\cos a = -1) это также будет выполняться.
Таким образом, оба выражения равны, и равенство доказано.
Давайте докажем равенство:
[ (\sin a + \cos a)^2 - \sin^2 a = 1 ]
По формуле квадрата суммы: [ (\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a ]
Подставляем это в исходное выражение: [ \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a - \sin^2 a = 1 ]
Сложим (\sin^2 a) и (\cos^2 a). Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]
Тогда выражение становится: [ 1 + 2\sin a \cos a - \sin^2 a = 1 ]
[ 1 + 2\sin a \cos a - \sin^2 a ]
Отсюда видно, что (1) в левой части соответствует (1) в правой. Проверяем оставшиеся слагаемые: [ 2\sin a\cos a - \sin^2
