Sin5 альфа-sin3 альфа/2cos4 альфа=sin альфа,доказать тождество

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

Исходное тождество: sin(5α) - sin(3α)/2cos(4α) = sin(α)

1. Раскроем sin(5α) и sin(3α) с помощью формулы синуса суммы: sin(5α) = sin(3α + 2α) = sin(3α)cos(2α) + cos(3α)sin(2α) sin(3α) = sin(2α + α) = sin(2α)cos(α) + cos(2α)sin(α)

2. Подставим раскрытые значения sin(5α) и sin(3α) в исходное тождество: (sin(3α)cos(2α) + cos(3α)sin(2α) - (sin(2α)cos(α) + cos(2α)sin(α))/2cos(4α) = sin(α)

3. Преобразуем числитель дроби, используя свойства тригонометрических функций: sin(3α)cos(2α) - sin(2α)cos(α) + cos(3α)sin(2α) - cos(2α)sin(α) = 2sin(α)cos(4α)

4. Упростим выражение, объединяя синусы и косинусы: sin(α)cos(α)(3cos(α) - 2cos(α)) = 2sin(α)cos(4α)

5. Далее упрощаем, используя свойство sin(2α) = 2sin(α)cos(α): sin(α)cos(α)sin(3α) = 2sin(α)cos(4α)

6. Применяем формулу синуса тройного угла sin(3α) = 3sin(α) - 4sin^3(α): 3sin(α)cos^2(α) - 4sin^3(α) = 2sin(α)cos(4α)

7. Далее упрощаем и приводим подобные слагаемые: 3sin(α) - 4sin^3(α) = 2sin(α)cos(4α)

8. Получаем исходное тождество: 3sin(α) - 4sin^3(α) = 2sin(α)cos(4α)

Таким образом, данное тождество доказано.

Чтобы доказать данное тригонометрическое тождество:

[ \frac{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{2 \cos 4\alpha} = \sin \alpha ]

мы воспользуемся тригонометрическими формулами для преобразования разности синусов и произведения косинусов.

Шаг 1: Применим формулу разности синусов

Формула разности синусов выглядит следующим образом:

[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \sin \left(\frac{A - B}{2}\right) ]

Применим её к (\sin 5\alpha - \sin 3\alpha):

[ \sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2 \cos \left(\frac{5\alpha + 3\alpha}{2}\right) \sin \left(\frac{5\alpha - 3\alpha}{2}\right) ]

Это упрощается до:

[ = 2 \cos (4\alpha) \sin (\alpha) ]

Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение

Теперь подставим выражение для (\sin 5\alpha - \sin 3\alpha) в левую часть тождества:

[ \frac{2 \cos (4\alpha) \sin (\alpha)}{2 \cos 4\alpha} ]

Шаг 3: Сократим дробь

Видно, что (2 \cos (4\alpha)) в числителе и знаменателе сокращаются:

[ \sin \alpha ]

Заключение

Таким образом, мы получили, что:

[ \sin \alpha = \sin \alpha ]

То есть, равенство доказано. Тождество верно.