Sin^4(A) + cos^4(A)+2sin^2(A)*cos^2(A) просто упростить

(sin^2(A) + cos^2(A))^2 = 1

Конечно, давайте упростим выражение ( \sin^4(A) + \cos^4(A) + 2\sin^2(A)\cos^2(A) ).

Первое, на что стоит обратить внимание, это то, что ( 2\sin^2(A)\cos^2(A) ) можно записать как ( (\sin(A)\cos(A))^2 ). Но это не сильно упростит выражение. Вместо этого, давайте посмотрим на выражение более внимательно.

Обратим внимание на квадрат суммы:

[ (\sin^2(A) + \cos^2(A))^2 ]

Раскроем скобки:

[ (\sin^2(A) + \cos^2(A))^2 = \sin^4(A) + 2\sin^2(A)\cos^2(A) + \cos^4(A) ]

Заметим, что в нашем исходном выражении есть члены ( \sin^4(A) ), ( \cos^4(A) ) и ( 2\sin^2(A)\cos^2(A) ), которые полностью совпадают с раскладом квадрата суммы ( (\sin^2(A) + \cos^2(A))^2 ):

[ \sin^4(A) + \cos^4(A) + 2\sin^2(A)\cos^2(A) = (\sin^2(A) + \cos^2(A))^2 ]

Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 ]

Подставим это в наше выражение:

[ (\sin^2(A) + \cos^2(A))^2 = 1^2 = 1 ]

Таким образом, мы получаем:

[ \sin^4(A) + \cos^4(A) + 2\sin^2(A)\cos^2(A) = 1 ]

В итоге, выражение ( \sin^4(A) + \cos^4(A) + 2\sin^2(A)\cos^2(A) ) упрощается до 1.

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Имеем:

sin^4(A) + cos^4(A) + 2sin^2(A)cos^2(A)

Заметим, что:

sin^2(A) + cos^2(A) = 1

Возводим это равенство в квадрат:

(sin^2(A) + cos^2(A))^2 = 1

sin^4(A) + 2sin^2(A)cos^2(A) + cos^4(A) = 1

Теперь можем выразить данное выражение через квадрат суммы sin^2(A) и cos^2(A):

(sin^2(A) + cos^2(A))^2 = 1

sin^4(A) + 2sin^2(A)cos^2(A) + cos^4(A) = 1

Таким образом, исходное выражение sin^4(A) + cos^4(A) + 2sin^2(A)cos^2(A) равно 1.