Sin pi(x+9)/4=-корень из 2/2 Найти наименьший положительный корень.

Для начала решим уравнение sin(pi(x+9)/4) = -√2/2.

Так как sin(-π/4) = -√2/2, то угол (π(x+9))/4 = -π/4 + 2πk, где k - целое число.

Отсюда получаем уравнение (x+9) = -1 + 8k, где k - целое число.

Таким образом, x = -10 + 8k.

Наименьший положительный корень будет при k = 2, тогда x = -10 + 8*2 = 6.

Ответ: наименьший положительный корень равен 6.

Для решения уравнения ( \sin \left( \frac{\pi(x + 9)}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ), нужно разобраться, при каких значениях аргумента синус принимает значение (-\frac{\sqrt{2}}{2}).

Синус равен (-\frac{\sqrt{2}}{2}) при углах ( \theta = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ) и ( \theta = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ), где ( k ) — любое целое число.

Запишем это в виде уравнений: [ \frac{\pi(x + 9)}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ] [ \frac{\pi(x + 9)}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ]

Разделим все уравнения на (\pi): [ \frac{x + 9}{4} = \frac{5}{4} + 2k ] [ \frac{x + 9}{4} = \frac{7}{4} + 2k ]

Решим каждое уравнение отдельно:

1. [ \frac{x + 9}{4} = \frac{5}{4} + 2k ] [ x + 9 = 5 + 8k ] [ x = 5 + 8k - 9 ] [ x = 8k - 4 ]

   Чтобы найти наименьший положительный корень, нам нужно найти такое значение ( k ), при котором ( x ) будет положительным. Положительным будет первое значение ( x ), при ( k = 1 ): [ x = 8 \cdot 1 - 4 ] [ x = 4 ]

2. [ \frac{x + 9}{4} = \frac{7}{4} + 2k ] [ x + 9 = 7 + 8k ] [ x = 7 + 8k - 9 ] [ x = 8k - 2 ]

   Чтобы найти наименьший положительный корень, нам нужно найти такое значение ( k ), при котором ( x ) будет положительным. Положительным будет первое значение ( x ), при ( k = 1 ): [ x = 8 \cdot 1 - 2 ] [ x = 6 ]

Из двух найденных корней ( x = 4 ) и ( x = 6 ), наименьшим положительным корнем является ( x = 4 ).

Итак, наименьший положительный корень уравнения ( \sin \left( \frac{\pi(x + 9)}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ) равен ( x = 4 ).