(Sin альфа - cos альфа)^2 + 2 sin альфа cos альфа

Рассмотрим выражение ((\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha).

Для начала раскроем квадрат разности ((\sin \alpha - \cos \alpha)^2):

[ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (\sin \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha + (\cos \alpha)^2 ]

Подставим ( \sin^2 \alpha ) и ( \cos^2 \alpha ) вместо ((\sin \alpha)^2) и ((\cos \alpha)^2) соответственно:

[ \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha ]

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим это разложение:

[ (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha ]

Объединим подобные слагаемые:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha ]

Мы видим, что ( - 2 \sin \alpha \cos \alpha ) и ( + 2 \sin \alpha \cos \alpha ) взаимно уничтожаются:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha ]

Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

[ 1 ]

Итак, ((\sin \alpha - \cos \alpha)^2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1).

(sin α - cos α)^2 + 2 sin α cos α = sin^2 α - 2 sin α cos α + cos^2 α + 2 sin α cos α = sin^2 α + cos^2 α = 1

Для раскрытия данного выражения используем формулу квадрата разности: (sin α - cos α)^2 = sin^2α - 2sinαcosα + cos^2α

Также вспомним формулу двойного угла для произведения синуса и косинуса: 2sinαcosα = sin2α

Подставим полученные результаты в исходное выражение: (sin α - cos α)^2 + 2 sin α cos α = sin^2α - 2sinαcosα + cos^2α + sin2α = sin^2α + cos^2α - 2sinαcosα + sin2α = 1 - sin2α + sin2α = 1

Итак, исходное выражение (sin α - cos α)^2 + 2 sin α cos α равно 1.