(Sin 75 ° cos 5 ° - cos 75 ° cos 85 °) : (cos 375 °cos 5° - sin 15° sin 365°) решить используя формулы...

Решим задачу, используя тригонометрические формулы приведения и основные тождества.

Задано выражение:

[ \frac{\sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ}. ]

Шаг 1: Упростим числитель

Числитель: [ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ. ]

Используем формулу для разности произведений синуса и косинуса: [ \sin A \cos B - \cos A \cos B = \sin(A - B). ] Подставим ( A = 75^\circ ) и ( B = 5^\circ ): [ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 5^\circ = \sin(75^\circ - 5^\circ). ] Получаем: [ \sin(75^\circ - 5^\circ) = \sin 70^\circ. ] Итак, числитель равен ( \sin 70^\circ ).

Шаг 2: Упростим знаменатель

Знаменатель: [ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ. ]

Используем формулу для разности произведений косинуса и синуса: [ \cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B). ] Теперь подставим ( A = 375^\circ ) и ( B = 5^\circ ): [ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 375^\circ \sin 5^\circ = \cos(375^\circ + 5^\circ). ] Это упрощается до: [ \cos(375^\circ + 5^\circ) = \cos 380^\circ. ]

Теперь воспользуемся периодичностью косинуса (( \cos x = \cos(x - 360^\circ) )): [ \cos 380^\circ = \cos(380^\circ - 360^\circ) = \cos 20^\circ. ] Итак, знаменатель равен ( \cos 20^\circ ).

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения

Теперь выражение принимает вид: [ \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ}. ]

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin x = \cos(90^\circ - x). ] Для ( \sin 70^\circ ): [ \sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ. ]

Итак, выражение становится: [ \frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1. ]

Ответ:

[ 1. ]

Для решения выражения ((\sin 75° \cos 5° - \cos 75° \cos 85°) : (\cos 375° \cos 5° - \sin 15° \sin 365°)) воспользуемся формулами приведения и тригонометрическими тождествами.

1. Упростим числитель: [ \sin 75° \cos 5° - \cos 75° \cos 85° = \sin 75° \cos 5° - \cos 75° \sin 5° = \sin(75° - 5°) = \sin 70° ]

2. Упростим знаменатель: [ \cos 375° = \cos(360° + 15°) = \cos 15° ] [ \sin 15° = \sin(360° - 15°) = -\sin 15° ] Тогда: [ \cos 375° \cos 5° - \sin 15° \sin 365° = \cos 15° \cos 5° + \sin 15° \sin 5° = \cos(15° - 5°) = \cos 10° ]

Теперь подставим обратно в выражение: [ \frac{\sin 70°}{\cos 10°} ]

Используя тождество (\sin 70° = \cos 20°), получаем: [ \frac{\cos 20°}{\cos 10°} = \frac{1}{\cos 10°} \cdot \cos 20° ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \tan 70° ]

Давайте решим данное выражение шаг за шагом, используя формулы тригонометрии и приведения.

Начнем с числителя:

[ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \cos 85^\circ ]

Используем формулу косинуса разности:

[ \cos 85^\circ = \sin 5^\circ ]

Таким образом, выражение в числителе можно переписать как:

[ \sin 75^\circ \cos 5^\circ - \cos 75^\circ \sin 5^\circ ]

Это выражение соответствует формуле для синуса разности:

[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ]

Здесь (a = 75^\circ) и (b = 5^\circ). Тогда:

[ \sin(75^\circ - 5^\circ) = \sin 70^\circ ]

Теперь перейдем к знаменателю:

[ \cos 375^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 365^\circ ]

Сначала упростим (\cos 375^\circ) и (\sin 365^\circ):

[ \cos 375^\circ = \cos(360^\circ + 15^\circ) = \cos 15^\circ ]

[ \sin 365^\circ = \sin(360^\circ + 5^\circ) = \sin 5^\circ ]

Таким образом, выражение в знаменателе становится:

[ \cos 15^\circ \cos 5^\circ - \sin 15^\circ \sin 5^\circ ]

Это соответствует формуле косинуса суммы:

[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b ]

где (a = 15^\circ) и (b = 5^\circ). Тогда:

[ \cos(15^\circ + 5^\circ) = \cos 20^\circ ]

Теперь подставим все обратно в исходное выражение:

[ \frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ} ]

Теперь мы можем воспользоваться соотношением, что (\sin 70^\circ = \cos 20^\circ) (так как (\sin(90^\circ - x) = \cos x)). Таким образом, выражение упрощается:

[ \frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1 ]

В итоге, значение всего выражения равно (1).