С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение √x=(x-2)^2

Для решения уравнения √x=(x-2)^2 необходимо построить графики функций y=√x и y=(x-2)^2 и найти точки их пересечения. Количество корней уравнения будет равно количеству точек пересечения графиков.

Рассмотрим уравнение (\sqrt{x} = (x-2)^2) и попробуем выяснить, сколько корней оно имеет, используя графический метод.

Для этого сначала разделим наше уравнение на две функции:

1. ( y_1 = \sqrt{x} )
2. ( y_2 = (x-2)^2 )

Теперь построим графики этих функций на координатной плоскости.

1. График функции ( y_1 = \sqrt{x} ):

   • Эта функция определена для ( x \geq 0 ).
   • График представляет собой половину параболы, лежащую в первой четверти координатной плоскости.
   • Начальная точка этой функции — ((0, 0)).
   • При ( x \to \infty ), ( y_1 \to \infty ).

2. График функции ( y_2 = (x-2)^2 ):

   • Эта функция определена для всех значений ( x ).
   • График представляет собой параболу, вершина которой находится в точке ((2, 0)).
   • При ( x = 2 ), значение функции ( y_2 = 0 ).
   • При ( x \to \infty ) или ( x \to -\infty ), ( y_2 \to \infty ).

Теперь построим оба графика на одной координатной плоскости:

• График ( y_1 = \sqrt{x} ) начинается в точке ((0, 0)) и плавно поднимается вверх вправо.
• График ( y_2 = (x-2)^2 ) имеет вершину в точке ((2, 0)) и симметрично расширяется вверх по обе стороны от этой точки.

Теперь найдем точки пересечения этих графиков. Точки пересечения графиков функций ( y_1 ) и ( y_2 ) соответствуют решениям уравнения (\sqrt{x} = (x-2)^2).

1. Исследуем поведение функций около точки ( x = 2 ):

   • При ( x = 2 ), ( y_1 = \sqrt{2} \approx 1.414 ) и ( y_2 = (2-2)^2 = 0 ).
   • Значит, точка ( x = 2 ) не является корнем уравнения.

2. Находим пересечения графиков аналитически:

   • Чтобы найти корни уравнения, приравняем функции: (\sqrt{x} = (x-2)^2 ).
   • Возведем обе части уравнения в квадрат: ( x = (x-2)^4 ).
   • Решим уравнение ( x = (x-2)^4 ).

Рассмотрим уравнение ( x = (x-2)^4 ):

• При ( x = 0 ): ( 0 = (0-2)^4 = 16 ), не подходит.
• При ( x = 1 ): ( 1 = (1-2)^4 = 1 ), подходит, это корень.
• При ( x = 2 ): ( 2 = (2-2)^4 = 0 ), не подходит.

Проверим, есть ли другие корни:

• ( (x-2)^4 ) — это возрастающая функция для ( x \geq 2 ), а ( x ) также растет линейно.
• ( (x-2)^4 ) возрастает гораздо быстрее, чем ( x ), при удалении от точки ( x = 2 ).

Графический анализ и аналитическое решение показали, что уравнение имеет один корень ( x = 1 ).

Таким образом, графический метод подтверждает, что уравнение (\sqrt{x} = (x-2)^2) имеет один корень.

Для того чтобы выяснить, сколько корней имеет уравнение √x=(x-2)^2, необходимо изобразить графики функций y = √x и y = (x-2)^2 на одном координатном листе и найти точку их пересечения.

Функция y = √x представляет собой положительный корень из x, что означает, что она определена только для x >= 0. Функция y = (x-2)^2 - это квадратный трехчлен, который также определен для всех действительных значений x.

Построим графики этих функций. График функции y = √x будет начинаться из точки (0,0) и увеличиваться по мере увеличения x. График функции y = (x-2)^2 - это парабола с вершиной в точке (2,0), которая открывается вверх.

Изобразив оба графика на одном координатном листе, мы увидим, что они пересекаются в точке (4,2). Это означает, что уравнение √x=(x-2)^2 имеет один корень, который равен 4.

Таким образом, уравнение √x=(x-2)^2 имеет один корень, который равен 4.