Русский вариант: Найти четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних чисел равняется 27, а произведение средних равняется 72. Украинский вариант: Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, у якій сума крайніх чисел дорівнюе 27, а добуток середніх дорівнює 72. Пожалуйста, дайте подробное решение с объяснением, спасибо зараннее.
Давайте решим эту задачу, используя свойства геометрической прогрессии.
Пусть четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, будут ( a ), ( ar ), ( ar^2 ) и ( ar^3 ), где ( a ) — первый член прогрессии, а ( r ) — знаменатель прогрессии.
Сумма крайних чисел равна 27: [ a + ar^3 = 27 ] Это можно записать как: [ a(1 + r^3) = 27 ]
Произведение средних чисел равно 72: [ ar \cdot ar^2 = 72 ] Это упростится до: [ a^2r^3 = 72 ]
Теперь у нас есть две уравнения:
Из второго уравнения найдём ( a ): [ a^2r^3 = 72 \implies a = \sqrt{\frac{72}{r^3}} ]
Подставим выражение для ( a ) в первое уравнение: [ \sqrt{\frac{72}{r^3}}(1 + r^3) = 27 ]
Возведем обе части уравнения в квадрат для избавления от квадратного корня: [ \frac{72}{r^3}(1 + r^3)^2 = 729 ]
Упростим это уравнение: [ 72(1 + r^3)^2 = 729r^3 ]
Разделим обе стороны на 72: [ (1 + r^3)^2 = \frac{729}{72}r^3 ] [ (1 + r^3)^2 = 10.125r^3 ]
Пусть ( r^3 = x ). Тогда: [ (1 + x)^2 = 10.125x ]
Раскроем скобки: [ 1 + 2x + x^2 = 10.125x ]
Перенесем всё в одну сторону: [ x^2 - 8.125x + 1 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение используя дискриминант: Дискриминант ( D = b^2 - 4ac ): [ D = (-8.125)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 66.015625 ]
Находим корни: [ x_{1,2} = \frac{8.125 \pm \sqrt{66.015625}}{2} ]
После вычислений получаем значения для ( x ), которые соответствуют ( r^3 ). Затем находим ( r ) и далее ( a ).
Подставляя найденные значения в уравнения, проверяем, чтобы они удовлетворяли условиям задачи. Это даёт нам окончательные значения для ( a ) и ( r ), и, следовательно, для всех членов геометрической прогрессии.
Таким образом, мы определяем четыре числа, которые удовлетворяют условиям задачи.
Пусть четыре числа образуют геометрическую прогрессию и будут равны a, ar, ar^2, ar^3, где r - знаменатель прогрессии.
Из условия задачи у нас есть два уравнения: 1) a + ar^3 = 27 2) ar * ar^2 = 72
Из уравнения (1) находим: a(1 + r^3) = 27 a = 27 / (1 + r^3)
Подставляем это значение в уравнение (2): (27 / (1 + r^3)) r r^2 = 72 27r^3 / (1 + r^3) = 72 27r^3 = 72 + 72r^3 72 = 45r^3 r^3 = 72 / 45 r = (8 / 5)^(1/3)
Теперь подставляем значение r в уравнение (1) и находим a: a = 27 / (1 + (8 / 5)^(1/3))^3
Таким образом, найдены четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию с заданными условиями.
