Решите,пожалуйста tg^2x-5=4tgx

Для решения уравнения tg^2x - 5 = 4tgx, мы можем воспользоваться заменой переменной. Обозначим tgx = t. Тогда уравнение примет вид t^2 - 5 = 4t.

Преобразуем уравнение: t^2 - 4t - 5 = 0.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 1, b = -4, c = -5.

D = (-4)^2 - 41(-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения: t1,2 = (-b ± √D) / 2a.

t1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5. t2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1.

Итак, получаем два корня: t1 = 5 и t2 = -1.

Теперь найдем значения x, используя обратную замену t = tgx.

Для t1 = 5: tgx = 5. Решая уравнение tgx = 5, получаем x = arctg(5) + kπ, где k - целое число.

Для t2 = -1: tgx = -1. Решая уравнение tgx = -1, получаем x = arctg(-1) + kπ, где k - целое число.

Таким образом, уравнение tg^2x - 5 = 4tgx имеет бесконечное множество решений, выраженных через арктангенс и периодические функции.

tg^2x - 5 = 4tgx

tgx = a

a^2 - 5 = 4a

a^2 - 4a - 5 = 0

(a - 5)(a + 1) = 0

a = 5, a = -1

tgx = 5, tgx = -1

x = arctg(5), x = arctg(-1) + πk, где k - целое число.

Рассмотрим уравнение:

[ \tan^2 x - 5 = 4 \tan x. ]

Для решения этого уравнения введём замену: пусть ( y = \tan x ). Тогда уравнение перепишется в виде:

[ y^2 - 5 = 4y. ]

Перенесём все члены в одну часть уравнения:

[ y^2 - 4y - 5 = 0. ]

Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

1. ( y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 ),
2. ( y_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 ).

Теперь вернемся к нашей замене ( y = \tan x ) и рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1. ( \tan x = 5 ).

   Решение этого уравнения:

   [ x = \arctan(5) + \pi n, ]

   где ( n ) — любое целое число.

2. ( \tan x = -1 ).

   Решение этого уравнения:

   [ x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, ]

   где ( n ) — любое целое число.

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

[ x = \arctan(5) + \pi n ] или [ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, ]

где ( n ) — любое целое число.