Решите уровнение: cos3x+cos5x=0

Чтобы решить уравнение ( \cos{3x} + \cos{5x} = 0 ), воспользуемся формулой суммы косинусов:

[ \cos{a} + \cos{b} = 2 \cos{\left(\frac{a+b}{2}\right)} \cos{\left(\frac{a-b}{2}\right)} ]

Подставим ( a = 3x ) и ( b = 5x ):

[ \cos{3x} + \cos{5x} = 2 \cos{\left(\frac{3x + 5x}{2}\right)} \cos{\left(\frac{3x - 5x}{2}\right)} = 2 \cos{4x} \cos{-x} ]

Так как ( \cos{-x} = \cos{x} ) (свойство чётности косинуса), то

[ 2 \cos{4x} \cos{x} = 0 ]

Для того чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим каждый случай:

1. ( \cos{4x} = 0 )

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен ( \frac{\pi}{2} + \pi k ), где ( k ) — целое число. Таким образом,

[ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} ]

1. ( \cos{x} = 0 )

Аналогично, косинус равен нулю при

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k ]

Таким образом, общее решение уравнения ( \cos{3x} + \cos{5x} = 0 ) задаётся двумя сериями значений:

[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Эти решения включают все ( x ), при которых ( \cos{3x} + \cos{5x} = 0 ) обращается в ноль.

Для решения данного уравнения раскроем тригонометрические формулы для косинуса суммы и разности: cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)

Используем эти формулы для преобразования уравнения cos3x + cos5x = 0: cos3x + cos5x = cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x)

Теперь преобразуем уравнение, используя формулы двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставляем эти значения в уравнение: cos(3x)(2cos^2(x) - 1) - sin(3x)(2sin(x)cos(x)) = 0

Раскрываем скобки и преобразуем уравнение: 2cos(3x)cos^2(x) - cos(3x) - 2sin(3x)sin(x)cos(x) = 0

Теперь используем формулы для умножения и деления тригонометрических функций: cos(a)cos(b) = 0.5[cos(a - b) + cos(a + b)] sin(a)cos(b) = 0.5[sin(a + b) + sin(a - b)]

Подставляем эти формулы в уравнение и далее решаем его.

cos3x + cos5x = 0 cos(3x) + cos(5x) = 0 cos(3x) + cos(3x + 2x) = 0 cos(3x) + cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x) = 0 cos(3x)(1 + cos(2x)) - sin(3x)sin(2x) = 0 cos(3x)(1 + 2cos^2(x) - 1) - 2sin(3x)cos(x)sin(x) = 0 cos(3x)2cos^2(x) - 2sin(3x)cos(x)sin(x) = 0 2cos^2(x)(2cos(3x) - sin(3x)) = 0 cos^2(x) = 0 cos(x) = 0 x = π/2 + πn, n ∈ Z