Решите уравнение tg π(x-5)/3=-√3 .В ответе наименьший положительный корень

x = 3π/2 + 5

Для решения уравнения (\tan \left( \frac{\pi (x-5)}{3} \right) = -\sqrt{3}), начнем с рассмотрения свойств тангенса и связанных углов.

1. Основное уравнение тангенса:

   Тангенс принимает значение (-\sqrt{3}) в точках (\frac{4\pi}{3} + k\pi) и (\frac{7\pi}{3} + k\pi), где (k) — целое число. Это следует из того, что (\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}) и (\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}).

2. Применение к нашему уравнению:

   Нам нужно найти такие (x), чтобы: [ \frac{\pi (x-5)}{3} = \frac{4\pi}{3} + k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi (x-5)}{3} = \frac{7\pi}{3} + k\pi ] где (k) — целое число.

3. Решение первого уравнения:

   [ \frac{\pi (x-5)}{3} = \frac{4\pi}{3} + k\pi ] Умножим обе части на 3/(\pi): [ x-5 = 4 + 3k ] Тогда: [ x = 9 + 3k ]

4. Решение второго уравнения:

   [ \frac{\pi (x-5)}{3} = \frac{7\pi}{3} + k\pi ] Умножим обе части на 3/(\pi): [ x-5 = 7 + 3k ] Тогда: [ x = 12 + 3k ]

5. Наименьший положительный корень:

   Рассмотрим возможные значения (x) при (k = 0):

   • Для первого уравнения: (x = 9)
   • Для второго уравнения: (x = 12)

   Оба (x = 9) и (x = 12) являются положительными, но (x = 9) меньше.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения (\tan \left( \frac{\pi (x-5)}{3} \right) = -\sqrt{3}) равен (x = 9).

Для решения уравнения tg(π(x-5)/3) = -√3 сначала найдем общее решение данного уравнения. Для этого преобразуем уравнение:

tg(π(x-5)/3) = -√3 π(x-5)/3 = arctg(-√3) x-5 = 3arctg(-√3)/π x = 5 + 3arctg(-√3)/π

Теперь найдем наименьший положительный корень уравнения. Поскольку тангенс является периодической функцией с периодом π, то наименьший положительный корень будет равен:

x = 5 + 3*(arctg(-√3) + π)/π

Вычислив данное выражение, получим наименьший положительный корень уравнения tg(π(x-5)/3) = -√3.