Решите уравнение sin^2x-6sinx=0

sinx=0 или sinx=6

Для решения уравнения ( \sin^2 x - 6 \sin x = 0 ), сначала сделаем замену переменной. Обозначим ( y = \sin x ). Тогда уравнение перепишется в виде:

[ y^2 - 6y = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить путем вынесения общего множителя:

[ y(y - 6) = 0 ]

Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. ( y = 0 )
2. ( y - 6 = 0 \Rightarrow y = 6 )

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. ( y = 0 ): [ \sin x = 0 ] Решение этого уравнения: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

2. ( y = 6 ): [ \sin x = 6 ] Однако, это уравнение не имеет решений, поскольку функция синуса принимает значения только в диапазоне от (-1) до (1). Следовательно, ( \sin x = 6 ) невозможно.

Таким образом, единственное решение исходного уравнения:

[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Это решение представляет собой множество всех целых кратных числа (\pi), что соответствует тем точкам на тригонометрической окружности, где синус равен нулю.

Для решения уравнения sin^2x - 6sinx = 0 сначала выразим sinx через sin2x (двойной угол): sin2x = 2sinxcosx, откуда sinx = 2sinxcosx / 2 = sin2x / 2. Теперь подставим sinx = sin2x / 2 в исходное уравнение: (sin2x / 2)^2 - 6(sin2x / 2) = 0 (sin^2 2x) / 4 - 3sin2x = 0 (sin^2 2x) - 12sin2x = 0 sin2x(sin2x - 12) = 0

Таким образом, мы получаем два уравнения: 1) sin2x = 0 2) sin2x - 12 = 0

1) sin2x = 0 Так как sin2x = 0, то sinx = 0. Решение: x = 0 + kπ, где k - целое число.

2) sin2x - 12 = 0 sin2x = 12 sinx = ±√12 = ±2√3 Так как sinx = ±2√3, то x = arcsin(±2√3) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, решением уравнения sin^2x - 6sinx = 0 являются x = kπ, x = arcsin(±2√3) + 2kπ, где k - целое число.