Решите уравнение; sin(2x) + √3sinx=0 Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие промежутку [5п/2;7п/2]

Для решения уравнения sin(2x) + √3sinx = 0 преобразуем его следующим образом: sin(2x) + √3sinx = 0 2sinxcosx + √3sinx = 0 sinx(2cosx + √3) = 0

Так как sinx ≠ 0, то у нас остается уравнение: 2cosx + √3 = 0 cosx = -√3/2

Известно, что cos(5π/3) = -√3/2, поэтому x = 5π/3 является одним из корней уравнения.

Для того чтобы найти остальные корни на интервале [5π/2;7π/2], нужно учесть, что период функции cosx равен 2π. Таким образом, мы можем найти другие корни уравнения, добавив к первому корню кратное значение периода функции cosx.

Таким образом, все корни уравнения sin(2x) + √3sinx = 0 на интервале [5π/2;7π/2] будут: x = 5π/3 + 2π * n, где n - целое число.

Чтобы решить уравнение ( \sin(2x) + \sqrt{3}\sin(x) = 0 ), начнем с преобразования первого члена. Мы знаем, что ( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ). Подставим это выражение в уравнение:

[ 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = 0 ]

Теперь вынесем ( \sin(x) ) за скобки:

[ \sin(x)(2\cos(x) + \sqrt{3}) = 0 ]

Для того чтобы это произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. ( \sin(x) = 0 )
2. ( 2\cos(x) + \sqrt{3} = 0 )

Случай 1: ( \sin(x) = 0 )

(\sin(x) = 0) при ( x = k\pi ), где ( k ) — целое число.

Случай 2: ( 2\cos(x) + \sqrt{3} = 0 )

Решим это уравнение:

[ 2\cos(x) = -\sqrt{3} ] [ \cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Значение (\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) достигается при:

[ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку ([ \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} ]).

Найдем корни для ( \sin(x) = 0 ):

[ x = k\pi ]

В данном промежутке:

1. (\frac{5\pi}{2})
2. (\pi \cdot 3 = 3\pi) (так как (3\pi = \frac{6\pi}{2}), что входит в пределы)
3. (\frac{7\pi}{2})

Найдем корни для ( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ):

1. Для положительного угла: [ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] Проверим, при каких (k) значение (x) попадает в нужный промежуток: [ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \in \left[ \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right] ] При (k = 1): [ \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} ] [ \frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi, что находится в пределах \left[ \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right] ]

2. Для отрицательного угла: [ x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] Проверим, при каких (k) значение (x) попадает в нужный промежуток: [ -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \in \left[ \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right] ] При (k = 2): [ -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = -\frac{5\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} ] [ \frac{19\pi}{6} \approx 3.17\pi, что находится в пределах \left[ \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right] ]

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие промежутку ([ \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} ]):

[ x = \frac{5\pi}{2}, 3\pi, \frac{7\pi}{2}, \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} ]