Решите уравнение: sin^2x-2sinx-3=0

Для решения уравнения sin^2x - 2sinx - 3 = 0 нужно использовать подстановку. Пусть sinx = t. Тогда уравнение примет вид t^2 - 2t - 3 = 0. Решим это квадратное уравнение и найдем значения sinx.

Для решения данного уравнения sin^2x - 2sinx - 3 = 0 следует ввести замену: y = sinx. Тогда уравнение примет вид: y^2 - 2y - 3 = 0. Далее решим это квадратное уравнение относительно переменной y.

Для этого используем квадратное уравнение вида: ay^2 + by + c = 0, где a = 1, b = -2, c = -3. Далее применяем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16.

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня: y1,2 = (-b ± √D) / 2a = (2 ± 4) / 2 = {y1 = 3, y2 = -1}.

Теперь, зная, что y = sinx, находим значения переменной sinx: sinx1 = 3 и sinx2 = -1. Однако значение синуса не может быть больше 1 и меньше -1, поэтому корень sinx1 = 3 не подходит.

Итак, решение уравнения sin^2x - 2sinx - 3 = 0: sinx = -1.

Для решения уравнения (\sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0) используем замену переменной. Обозначим (y = \sin x). Тогда уравнение примет вид:

[ y^2 - 2y - 3 = 0. ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта (D) следующая:

[ D = b^2 - 4ac, ]

где (a = 1), (b = -2), (c = -3).

Подставим значения:

[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим наши значения:

[ y_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

[ y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, ] [ y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. ]

Теперь вернёмся к переменной (\sin x).

1. (\sin x = 3): Поскольку значения функции (\sin x) находятся в диапазоне от -1 до 1, (\sin x = 3) не имеет решений в области действительных чисел.

2. (\sin x = -1): Это уравнение имеет решение. Функция синуса равна -1 в точке (x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi), где (k) — целое число.

Таким образом, решение уравнения (\sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0) в действительных числах:

[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]