Решите уравнение : log 0,5 (x2+x)=-1

Для решения уравнения (\log_{0.5}(x^2 + x) = -1) следуем следующим шагам:

Шаг 1: Преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальное

У нас есть логарифмическое уравнение:

[ \log_{0.5}(x^2 + x) = -1 ]

Это уравнение можно переписать в экспоненциальной форме. Учитывая, что (\log_b(a) = c) эквивалентно (b^c = a), мы получаем:

[ 0.5^{-1} = x^2 + x ]

Шаг 2: Вычисление значения основания

Поскольку (0.5^{-1}) означает обратное значение 0.5, это будет равно 2:

[ 2 = x^2 + x ]

Шаг 3: Преобразование в квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

[ x^2 + x - 2 = 0 ]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Это квадратное уравнение можно решить различными методами, например, разложением на множители или использованием формулы корней квадратного уравнения. Попробуем разложение на множители:

Ищем два числа, которые в произведении дают (-2), а в сумме (1). Это числа (2) и (-1). Таким образом, уравнение можно записать как:

[ (x - 1)(x + 2) = 0 ]

Шаг 5: Нахождение корней

Решаем уравнения:

1. (x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1)
2. (x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2)

Шаг 6: Проверка области допустимых значений

Так как у нас логарифмическое уравнение, необходимо убедиться, что аргумент логарифма положителен: (x^2 + x > 0).

1. Для (x = 1): подставляем в выражение (x^2 + x): (1^2 + 1 = 2 > 0)
2. Для (x = -2): подставляем в выражение (x^2 + x): ((-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2 > 0)

Оба корня удовлетворяют условию положительности аргумента логарифма.

Ответ

Решения уравнения: (x = 1) и (x = -2).

Решение: x = -1.

Для решения данного уравнения сначала переведем его в экспоненциальную форму. Используем свойство логарифма: если log_a(b) = c, то a^c = b. Таким образом, у нас получается уравнение: 0,5^(-1) = x^2 + x. 0,5^(-1) = 2, поэтому уравнение примет вид: 2 = x^2 + x. Теперь приведем его к квадратному виду: x^2 + x - 2 = 0. Далее решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 1^2 - 41(-2) = 9. Так как дискриминант положителен, у уравнения имеется два корня: x1 = (-1 + √9) / 2 = 1, x2 = (-1 - √9) / 2 = -2. Таким образом, корнями уравнения log 0,5 (x^2 + x) = -1 являются x = 1 и x = -2.