Решите уравнение : х3=3х2+4х

Чтобы решить уравнение ( x^3 = 3x^2 + 4x ), начнем с того, что перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ x^3 - 3x^2 - 4x = 0 ]

Теперь можно вынести общий множитель ( x ):

[ x(x^2 - 3x - 4) = 0 ]

Это уравнение имеет два множителя: ( x = 0 ) и ( x^2 - 3x - 4 = 0 ).

Первый корень:

[ x = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 - 3x - 4 = 0 ). Для этого можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ). Подставим значения в формулу:

[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} ]

Посчитаем дискриминант:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ]

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} ]

[ x = \frac{3 \pm 5}{2} ]

Теперь найдем два корня:

1. ( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
2. ( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 )

Таким образом, у нас есть три корня уравнения:

1. ( x = 0 )
2. ( x = 4 )
3. ( x = -1 )

Итак, окончательный ответ:

[ x = 0, \quad x = 4, \quad x = -1 ]

Рассмотрим уравнение: ( x^3 = 3x^2 + 4x ). Требуется найти все значения ( x ), которые удовлетворяют этому уравнению. Давайте разберем решение пошагово.

Шаг 1. Преобразование уравнения

Приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в одну часть: [ x^3 - 3x^2 - 4x = 0 ]

Шаг 2. Вынесение общего множителя

Во всех членах уравнения присутствует ( x ), поэтому можно вынести ( x ) за скобки: [ x(x^2 - 3x - 4) = 0 ]

Теперь у нас произведение двух множителей равно нулю. Это означает, что уравнение будет выполнено, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Шаг 3. Первый множитель

Первый множитель: ( x = 0 ).

Это сразу дает нам одно решение: [ x = 0 ]

Шаг 4. Второй множитель

Рассмотрим второй множитель: [ x^2 - 3x - 4 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Решим его стандартным методом через дискриминант.

Формула для дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ]

Подставляем коэффициенты ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -4 ): [ D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 ]

Шаг 5. Нахождение корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем значения ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( \sqrt{D} = 5 ): [ x = \frac{-(-3) \pm 5}{2(1)} = \frac{3 \pm 5}{2} ]

Вычисляем два корня: [ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ]

Шаг 6. Объединение решений

Теперь соберем все найденные корни. У нас получилось три решения: [ x = 0, \, x = 4, \, x = -1 ]

Ответ:

Уравнение ( x^3 = 3x^2 + 4x ) имеет три корня: [ x = 0, \, x = 4, \, x = -1 ]