Решите уравнение: (х-2)^4-(х-2)^2-6=0 С полным решением ,пожалуйста!

Для решения уравнения ((x-2)^4 - (x-2)^2 - 6 = 0) можно сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть ( u = (x-2)^2 ). Тогда уравнение примет вид: [ u^2 - u - 6 = 0. ]

Теперь решим квадратное уравнение ( u^2 - u - 6 = 0 ). Для этого найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. ]

Корни квадратного уравнения находим по формуле: [ u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня: [ u_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, ] [ u_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2. ]

Так как ( u = (x-2)^2 \geq 0 ), то корень ( u_2 = -2 ) не подходит, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Остается корень ( u = 3 ). Теперь возвращаемся к замене: [ (x-2)^2 = 3. ]

Решаем это уравнение: [ x-2 = \pm \sqrt{3}, ] [ x = 2 \pm \sqrt{3}. ]

Итак, корни исходного уравнения: [ x_1 = 2 + \sqrt{3}, ] [ x_2 = 2 - \sqrt{3}. ]

Это и есть решение данного уравнения.

Для решения данного уравнения, давайте введем новую переменную:

Пусть t = (x - 2)^2

Тогда уравнение примет вид:

t^2 - t - 6 = 0

Далее найдем корни этого квадратного уравнения:

D = (-1)^2 - 41(-6) = 1 + 24 = 25

t1 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3 t2 = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2

Теперь подставим значения t обратно в выражение t = (x - 2)^2:

(x - 2)^2 = 3 x - 2 = ±√3 x = 2 ± √3

или

(x - 2)^2 = -2 Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итак, решением исходного уравнения (x-2)^4 - (x-2)^2 - 6 = 0 являются:

x = 2 + √3 x = 2 - √3