Решите уравнение графически: x²=2x-1

На графике уравнение x²=2x-1 представляет собой параболу, пересекающую ось x в двух точках. Для решения уравнения графически нужно найти точки пересечения параболы с прямой y=x.

Для решения уравнения ( x^2 = 2x - 1 ) графически, нужно следовать следующим шагам:

1. Переписывание уравнения в подходящей форме: Перепишем уравнение так, чтобы его можно было анализировать графически. Переносим все члены на одну сторону уравнения: [ x^2 - 2x + 1 = 0 ] Это уравнение можно представить как разность двух функций: [ x^2 \quad \text{и} \quad 2x - 1 ]

2. Построение графиков функций: Построим графики обеих функций на одной координатной плоскости.

   • ( y = x^2 ): Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке ((0, 0)).

   • ( y = 2x - 1 ): Это прямая линия с угловым коэффициентом 2 и сдвигом по оси ( y ) на -1. Прямая пересекает ось ( y ) в точке ((0, -1)) и имеет наклон 2.

3. Нахождение точек пересечения: Точки пересечения графиков этих функций и будут решениями уравнения. Для этого нужно найти такие ( x ), при которых ( x^2 = 2x - 1 ).

4. Аналитическое решение для проверки: Решим уравнение аналитически, чтобы подтвердить найденные графически решения: [ x^2 - 2x + 1 = 0 ] Это квадратное уравнение можно решить методом разложения на множители: [ (x - 1)^2 = 0 ] Отсюда следует, что: [ x - 1 = 0 \implies x = 1 ]

5. Графическое подтверждение: Построив графики ( y = x^2 ) и ( y = 2x - 1 ), увидим, что они пересекаются в точке ( x = 1 ). Подставив ( x = 1 ) в любое из исходных уравнений, найдем соответствующее значение ( y ): [ y = 1^2 = 1 \quad \text{или} \quad y = 2 \cdot 1 - 1 = 1 ] Оба графика пересекаются в точке ((1, 1)).

Таким образом, решение уравнения ( x^2 = 2x - 1 ) графически подтверждается и аналитически, и мы нашли, что единственное решение уравнения: [ x = 1 ]

Для решения уравнения x² = 2x - 1 графически необходимо построить графики функций y = x² и y = 2x - 1, а затем найти точки их пересечения.

График функции y = x² - парабола с вершиной в точке (0,0) и направленный вверх. График функции y = 2x - 1 - прямая, которая имеет угловой коэффициент 2 и пересекает ось ординат в точке (-1,0).

Далее, построив графики этих функций на координатной плоскости, мы можем увидеть, что они пересекаются в двух точках: (-1, -3) и (3, 5). Таким образом, решение уравнения x² = 2x - 1 графически заключается в нахождении координат точек пересечения данных функций на графике.