Решите уравнение cos2x+0,5=cos^2x найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2пи;-пи/2]...

Конечно, давайте решим это уравнение.

Уравнение, которое нужно решить, выглядит так: [ \cos 2x + 0.5 = \cos^2 x ]

Для начала, вспомним некоторые тригонометрические тождества:

1. (\cos 2x = 2\cos^2 x - 1)
2. (\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2})

Но в данном случае нам нужно использовать первое тождество.

Подставим тождество (\cos 2x = 2\cos^2 x - 1) в уравнение: [ 2\cos^2 x - 1 + 0.5 = \cos^2 x ]

Упростим это: [ 2\cos^2 x - 1 + 0.5 = \cos^2 x ] [ 2\cos^2 x - 0.5 = \cos^2 x ]

Теперь перенесем все к одной части уравнения: [ 2\cos^2 x - \cos^2 x - 0.5 = 0 ] [ \cos^2 x - 0.5 = 0 ]

Решим это уравнение относительно (\cos x): [ \cos^2 x = 0.5 ] [ \cos x = \pm \sqrt{0.5} ] [ \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь найдем все значения (x), удовлетворяющие этим условиям на интервале ([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]).

Для (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi ]

Для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2k\pi ]

Теперь найдем все значения (x), принадлежащие отрезку ([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]).

1. Для (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = -\frac{\pi}{4} ]

2. Для (\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}) с учетом (2k\pi): [ x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} ] (не входит в отрезок ([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]))

3. Для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = -\frac{3\pi}{4} ]

4. Для (\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}) с учетом (2k\pi): [ x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} ] (не входит в отрезок ([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]))

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку ([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]), это: [ x = -\frac{\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4} ]

Ответ: [ x = -\frac{\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4} ]

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрическими преобразованиями.

Исходное уравнение: cos(2x) + 0,5 = cos^2(x)

Заметим, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 (формула двойного угла для косинуса). Подставим это выражение в исходное уравнение:

2cos^2(x) - 1 + 0,5 = cos^2(x)

Упростим уравнение:

2cos^2(x) - 0,5 = cos^2(x)

cos^2(x) = 0,5

cos(x) = ±√0,5

cos(x) = ±√(2/4)

cos(x) = ±√2/2

Таким образом, корни уравнения cos(2x) + 0,5 = cos^2(x) равны:

x = ±π/4 + 2πn, где n - целое число

Поскольку требуется найти корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2], то подходит только корень x = -π/4.

Итак, корень уравнения cos(2x) + 0,5 = cos^2(x) на отрезке [-2π; -π/2] равен x = -π/4.

Для решения уравнения cos2x + 0,5 = cos^2x преобразуем его: cos2x = cos^2x - 0,5 cos2x = cos^2x - sin^2x cos2x = cos^2x - (1 - cos^2x) cos2x = 2cos^2x - 1

Таким образом, уравнение примет вид: 2cos^2x - 1 + 0,5 = cos^2x 2cos^2x - 0,5 - cos^2x = 0 cos^2x - 0,5 = 0 cos^2x = 0,5 cosx = ±√0,5 cosx = ±√2/2

Таким образом, корни уравнения на отрезке [-2π; -π/2] будут: x = -3π/4, -π/4