Решите уравнение: 6sin^2x + sinx = 2

Рассмотрим уравнение:
[ 6\sin^2x + \sin x = 2. ]

Для решения данного уравнения будем действовать пошагово.

1. Замена переменной

Обозначим ( y = \sin x ). Тогда уравнение становится квадратичным относительно переменной ( y ):
[ 6y^2 + y - 2 = 0. ]

2. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение ( 6y^2 + y - 2 = 0 ) решается с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac, ]
где ( a = 6 ), ( b = 1 ), ( c = -2 ). Подставим значения:
[ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49. ]

Так как ( D > 0 ), уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]
Подставим значения:
[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 7}{12}. ]

Найдём два корня:
[ y_1 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, ]
[ y_2 = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}. ]

Итак, два корня квадратного уравнения:
[ y_1 = \frac{1}{2}, \quad y_2 = -\frac{2}{3}. ]

3. Переход к исходной переменной

Напомним, что ( y = \sin x ). Поэтому решаем два тригонометрических уравнения:

1. (\sin x = \frac{1}{2}),
2. (\sin x = -\frac{2}{3}).

Решение первого уравнения: (\sin x = \frac{1}{2})

Для синуса известно, что он принимает значение (\frac{1}{2}) в точках:
[ x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, ]
где ( n \in \mathbb{Z} ).

Значение (\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)) известно:
[ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}. ]

Подставим:
[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Таким образом, решения первого уравнения:
[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Решение второго уравнения: (\sin x = -\frac{2}{3})

Для этого уравнения синус отрицателен, а значит, ( x ) находится в III или IV четвертях. Общий вид решения:
[ x = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Так как (\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)) не является табличным значением, оставляем его в символическом виде.

Таким образом, решения второго уравнения:
[ x = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

4. Объединение решений

Окончательные корни уравнения:

1. ( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n ),
2. ( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n ),
3. ( x = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n ),
4. ( x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n ),

где ( n \in \mathbb{Z} ).

Ответ:

[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, \quad x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Для решения уравнения (6\sin^2 x + \sin x - 2 = 0) начнем с того, что это квадратное уравнение относительно (\sin x). Обозначим (y = \sin x). Тогда уравнение можно переписать в виде:

[ 6y^2 + y - 2 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где (a = 6), (b = 1), (c = -2). Подставим значения в формулу:

1. Находим дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49. ]

1. Находим корни:

[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, ]

[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}. ]

Теперь у нас есть два возможных значения для (\sin x):

1. ( \sin x = \frac{1}{2} )
2. ( \sin x = -\frac{2}{3} )

1. Решаем уравнение ( \sin x = \frac{1}{2} )

Значение (\sin x = \frac{1}{2}) соответствует углам:

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, ]

где (k \in \mathbb{Z}).

2. Решаем уравнение ( \sin x = -\frac{2}{3} )

Для значения (\sin x = -\frac{2}{3}) угол (x) может быть найден с использованием арксинуса:

[ x = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right). ]

Это значение можно определить, но нужно учитывать, что синус отрицателен во втором и третьем квадрантах. Таким образом, общее решение будет:

[ x = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, ]

где (k \in \mathbb{Z}).

Заключение

Таким образом, общее решение уравнения (6\sin^2 x + \sin x = 2) можно записать как:

1. ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} )
2. ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} )
3. ( x = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} )
4. ( x = \pi - \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} )