Решите уравнение 1/x^2+2/x-3=0

Для решения уравнения 1/x^2 + 2/x - 3 = 0, сначала приведем его к общему знаменателю:

(x - 1)(x + 3) = 0.

Теперь найдем корни уравнения:

x - 1 = 0 => x = 1, x + 3 = 0 => x = -3.

Таким образом, уравнение 1/x^2 + 2/x - 3 = 0 имеет два корня: x = 1 и x = -3.

Для решения уравнения ( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0 ) удобно сделать замену переменной, полагая ( y = \frac{1}{x} ). Тогда ( \frac{1}{x^2} ) преобразуется в ( y^2 ), а ( \frac{2}{x} ) преобразуется в ( 2y ). Уравнение принимает вид:

[ y^2 + 2y - 3 = 0. ]

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 1 ), ( b = 2 ), и ( c = -3 ). Подставляем эти значения:

[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}. ]

Отсюда получаем два возможных значения для ( y ):

[ y_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, ] [ y_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3. ]

Теперь возвращаемся к исходной переменной ( x ), вспоминая, что ( y = \frac{1}{x} ). Таким образом, имеем:

[ \frac{1}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 1, ] [ \frac{1}{x_2} = -3 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{3}. ]

Итак, уравнение ( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0 ) имеет два решения: ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -\frac{1}{3} ).