решите уравнение
1/х+3+3/х-1=х^2+5х+2/х^2+2x-3
решите уравнение
1/х+3+3/х-1=х^2+5х+2/х^2+2x-3
Уравнение решено. Полученный ответ: x = -1.
Для решения данного уравнения, мы сначала приведем его к общему знаменателю и упростим. Далее, приведем подобные слагаемые, выразим все выражения через одинаковые знаменатели и решим полученное уравнение.
Приведем все дроби к общему знаменателю: (1/x + 3) + (3/x - 1) = (x^2 + 5x + 2) / (x^2 + 2x - 3)
Умножаем обе стороны уравнения на (x^2 + 2x - 3), чтобы избавиться от дробей в знаменателях: (x^2 + 2x - 3)(1/x + 3) + (x^2 + 2x - 3)(3/x - 1) = x^2 + 5x + 2
Упрощаем уравнение: (x + 3x^2 - 3) + (3x - x^2 - 3) = x^2 + 5x + 2 3x + 3x^2 - 3 + 3x - x^2 - 3 = x^2 + 5x + 2 2x^2 + 6x - 6 = x^2 + 5x + 2
Приводим подобные слагаемые и приводим уравнение к виду квадратного уравнения: x^2 + 6x - 8 = 0
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта и формулы решения квадратного уравнения: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 41(-8) = 36 + 32 = 68 x = (-b ± √D) / 2a x = (-6 ± √68) / 2
Таким образом, корни уравнения x^2 + 6x - 8 = 0 будут равны: x1 = (-6 + √68) / 2 x2 = (-6 - √68) / 2
Решим уравнение:
[ \frac{1}{x+3} + \frac{3}{x-1} = \frac{x^2 + 5x + 2}{x^2 + 2x - 3} ]
Сначала упростим правую часть уравнения. Заметим, что знаменатель в правой части можно разложить на множители:
[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) ]
Следовательно, уравнение переписывается как:
[ \frac{1}{x+3} + \frac{3}{x-1} = \frac{x^2 + 5x + 2}{(x + 3)(x - 1)} ]
Теперь попробуем упростить числитель в правой части. Разложим полином (x^2 + 5x + 2) на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения (x^2 + 5x + 2 = 0) с помощью дискриминанта.
[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17 ]
Корни уравнения:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2} ]
Таким образом, числитель (x^2 + 5x + 2) не разлагается на целочисленные множители. Поэтому оставим его в неизменном виде.
Теперь, чтобы решить уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю:
[ \frac{1(x-1) + 3(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{x - 1 + 3x + 9}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4x + 8}{(x + 3)(x - 1)} ]
Уравнение принимает вид:
[ \frac{4x + 8}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{x^2 + 5x + 2}{(x + 3)(x - 1)} ]
Теперь, когда обе части уравнения имеют одинаковый знаменатель, приравняем числители:
[ 4x + 8 = x^2 + 5x + 2 ]
Перенесем все члены на одну сторону:
[ x^2 + 5x + 2 - 4x - 8 = 0 ]
Упростим выражение:
[ x^2 + x - 6 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение, разложив его на множители:
[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0 ]
Следовательно, корни уравнения:
[ x = -3 \quad \text{или} \quad x = 2 ]
Подставим найденные значения в исходное уравнение, чтобы проверить, не делают ли они знаменатели равными нулю.
Для (x = -3):
[ \frac{1}{-3+3} + \frac{3}{-3-1} = \frac{-3}{0} \quad \text{(знаменатель равен нулю, это не подходит)} ]
Для (x = 2):
[ \frac{1}{2+3} + \frac{3}{2-1} = \frac{1}{5} + 3 = \frac{1}{5} + \frac{15}{5} = \frac{16}{5} ]
Правая часть при (x = 2):
[ \frac{2^2 + 5\cdot2 + 2}{2^2 + 2\cdot2 - 3} = \frac{4 + 10 + 2}{4 + 4 - 3} = \frac{16}{5} ]
Обе части равны, следовательно, (x = 2) является решением уравнения.
Ответ: (x = 2).
