Решите уравнение (10/x)=7-x

Чтобы решить уравнение (\frac{10}{x} = 7 - x), начнем с того, чтобы избавиться от дроби. Для этого умножим обе стороны уравнения на (x) (при условии, что (x \neq 0)):

[ 10 = (7 - x) \cdot x ]

Теперь раскроем скобки:

[ 10 = 7x - x^2 ]

Приведем все члены уравнения к одной стороне, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

[ x^2 - 7x + 10 = 0 ]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

где (a = 1), (b = -7), (c = 10). Подставляем значения:

[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 ]

Так как дискриминант положительный ((D > 0)), у уравнения есть два различных действительных корня. Теперь найдем корни с помощью формулы:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставляем наши значения:

[ x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2} ]

Теперь находим два корня:

1. (x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5)
2. (x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2)

Таким образом, у нас есть два решения: (x_1 = 5) и (x_2 = 2).

Теперь проверим оба корня, подставив их обратно в исходное уравнение (\frac{10}{x} = 7 - x):

1. Для (x = 5): [ \frac{10}{5} = 2 \quad \text{и} \quad 7 - 5 = 2 \quad \Rightarrow \quad 2 = 2 \quad \text{(верно)} ]

2. Для (x = 2): [ \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad 7 - 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 5 = 5 \quad \text{(верно)} ]

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Таким образом, окончательные решения данного уравнения:

[ x = 5 \quad \text{и} \quad x = 2 ]

Давайте решим уравнение (\frac{10}{x} = 7 - x) пошагово.

Шаг 1. Умножим обе стороны уравнения на (x), чтобы избавиться от дроби:

[ \frac{10}{x} = 7 - x ]

Умножаем обе стороны на (x) (при этом предполагаем, что (x \neq 0), так как делить на ноль нельзя): [ 10 = x(7 - x) ]

Шаг 2. Раскроем скобки:

[ 10 = 7x - x^2 ]

Шаг 3. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ x^2 - 7x + 10 = 0 ]

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

Уравнение (x^2 - 7x + 10 = 0) можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = -7), (c = 10).

Подставляем значения: [ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)} ] [ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} ] [ x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x = \frac{7 \pm 3}{2} ]

Теперь найдем два корня:

1. (x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5),
2. (x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2).

Шаг 5. Проверим, не приводит ли какой-либо корень к делению на ноль:

Возвращаемся к исходному уравнению (\frac{10}{x} = 7 - x). Здесь запрещено (x = 0), но наши корни (x = 5) и (x = 2) не равны нулю, поэтому оба подходят.

Шаг 6. Проверим каждый корень:

Подставим (x = 5) в исходное уравнение: [ \frac{10}{5} = 7 - 5 ] [ 2 = 2 \quad \text{(верно)}. ]

Подставим (x = 2) в исходное уравнение: [ \frac{10}{2} = 7 - 2 ] [ 5 = 5 \quad \text{(верно)}. ]

Ответ:

Уравнение имеет два корня: [ x = 5 \quad \text{и} \quad x = 2. ]