Решите уравнения lg (x-1)+lg (x+1)=0

Для решения уравнения lg(x-1) + lg(x+1) = 0, преобразуем его, используя свойства логарифмов.

Сначала объединим логарифмы с одинаковыми основаниями в один логарифм с помощью свойства логарифма log(a) + log(b) = log(ab):

lg((x-1)(x+1)) = 0

Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

(x-1)(x+1) = 10^0 x^2 - 1 = 1 x^2 = 2 x = ±√2

Таким образом, решением уравнения lg(x-1) + lg(x+1) = 0 являются два значения x: x = √2 и x = -√2.

Для решения данного уравнения начнем с основных свойств логарифмов. Уравнение имеет вид:

[ \lg(x-1) + \lg(x+1) = 0 ]

Свойство логарифмов гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения, поэтому преобразуем уравнение:

[ \lg[(x-1)(x+1)] = 0 ]

Это уравнение эквивалентно:

[ (x-1)(x+1) = 10^0 ] [ x^2 - 1 = 1 ]

Раскладываем на множители:

[ x^2 - 1 = 1 ] [ x^2 = 2 ] [ x = \pm \sqrt{2} ]

Теперь проверим, подходят ли найденные корни уравнению. Поскольку логарифм определен только для положительных чисел, оба значения (x) должны удовлетворять условиям (x - 1 > 0) и (x + 1 > 0).

1. Для (x = \sqrt{2}):

   • (x - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0) (поскольку (\sqrt{2} \approx 1.414))
   • (x + 1 = \sqrt{2} + 1 > 0)

2. Для (x = -\sqrt{2}):

   • (x - 1 = -\sqrt{2} - 1 < 0) (не удовлетворяет условию логарифма)

Следовательно, единственным подходящим решением будет:

[ x = \sqrt{2} ]

Таким образом, (x = \sqrt{2}) является единственным решением данного уравнения.