Решите систему: x^2+y^2=61 x^2-y^2=11 Каким методом ее решать, и как ?
Решите систему: x^2+y^2=61 x^2-y^2=11 Каким методом ее решать, и как ?
Данную систему уравнений можно решить методом подстановки.
Сложим оба уравнения и получим: 2x^2 = 72 x^2 = 36 x = ±6
Подставим значение x в любое из уравнений и найдем y: x^2 + y^2 = 61 36 + y^2 = 61 y^2 = 25 y = ±5
Таким образом, решение системы: (x, y) = (6, 5) и (x, y) = (6, -5)
Для решения данной системы уравнений можно использовать метод сложения и вычитания. Рассмотрим систему:
Первым шагом сложим эти два уравнения. Это позволит избавиться от переменной ( y^2 ):
[ (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11 ]
Это упростится до:
[ 2x^2 = 72 ]
Разделим обе стороны на 2:
[ x^2 = 36 ]
Теперь найдем значения ( x ). Из этого уравнения следует, что:
[ x = \pm 6 ]
Теперь подставим найденные значения ( x ) в одно из уравнений системы, например, в уравнение 2 (( x^2 - y^2 = 11 )), чтобы найти соответствующие значения ( y ).
Для ( x = 6 ):
Подставим в уравнение:
[ 36 - y^2 = 11 ]
Решаем относительно ( y^2 ):
[ y^2 = 36 - 11 = 25 ]
Следовательно, ( y = \pm 5 ).
Таким образом, при ( x = 6 ), возможны два решения: ( (6, 5) ) и ( (6, -5) ).
Для ( x = -6 ):
Аналогично подставим в уравнение:
[ 36 - y^2 = 11 ]
Решаем относительно ( y^2 ):
[ y^2 = 36 - 11 = 25 ]
Следовательно, ( y = \pm 5 ).
Таким образом, при ( x = -6 ), возможны два решения: ( (-6, 5) ) и ( (-6, -5) ).
Итак, система имеет четыре решения:
Это решение иллюстрирует использование метода сложения и разности для решения систем уравнений с квадратичными выражениями.
Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.
В данном случае мы можем воспользоваться методом сложения/вычитания уравнений. Для этого выразим y^2 из первого уравнения: y^2 = 61 - x^2. Подставим это выражение во второе уравнение:
x^2 - (61 - x^2) = 11 2x^2 - 61 = 11 2x^2 = 72 x^2 = 36 x = ±6
Теперь найдем значение y, подставив x в любое из исходных уравнений. Например, в первое уравнение:
6^2 + y^2 = 61 36 + y^2 = 61 y^2 = 25 y = ±5
Итак, получаем два набора решений: (x=6, y=5) и (x=-6, y=-5).
